同値関係の問題です。

質問

同値関係の問題です。

１）群Ｇと部分群Ｈで｛(x,y)｜xy∈Ｈ｝がＧ上の同値関係でないものを与えよ。

２）群Ｇと部分群Ｈで{(x,y)｜xyx^(-1)y^(-1)∈Ｈ}がＧ上の同値関係でないものを与えよ。

３）ＲをＸの同値関係とする。与えられたx∈Ｘに対して、y∈Ｘを(x,y)∈Ｒとなるように選ぶ。対称律より(y,x)∈Ｒとなり、次に推移律より(x,x)∈Ｒが示される。それゆえ、同値関係の反射律は余計なように思える。この議論の何が問題なのだろうか？

１問でもいいので分かる方おねがいします。

回答No.2

Anti-Giants

ごめんなさい、訂正があります。

(1)G = R-{0}, H = {1}
2×2 ? H
反射律を満たしていない

(2)G = R-{0}, H = {1}
1×2×(1/2)×1 = 1 and 2×1×1×(1/2) = 1, but 1 ≠ 2
対称律を満たしていない

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Anti-Giants

(1)G = R-{0}, H = Q-{0}
root{2}×root{2}?Q and root{3}×root{3}?Q, but root{2}×root{3}?Q.

(2)G = R-{0}, H = R-{0}
1×2×1×(1/2) = 1 and 2×1×(1/2)×1 = 1, but 1 ≠ 2

(3)
(x,y)? R and (y,x)? R となるyが存在しないxについては、推移律より示される(x,x)?Rが成り立つかどうか不明。つまり「与えられたx∈Ｘに対して、y∈Ｘを(x,y)∈Ｒとなるように選ぶ」ことができるとは限らない。だから、一般には、推移律からだけでは、自分自身と同値かどうか言えない。