同値関係の問題です。

質問

「反射律、対称律を満たすが、推移律は満たさない関係の例をあげよ」
という問題です。
同値関係については少しは理解しているのですがまだ勉強を始めたばかりでこういう問題はちょっと苦手です。
ヒントだけでも頂けないでしょうか？

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

二つの正方行列X, Yに対して、
「XY = YX」となるようなXとYのペアの関係を
「X～Y」とでも表すことにしましょう。
行列では一般に交換法則は成り立ちませんが、
たまたま交換しても等しくなるようなペアを考えるわけです。
この「～」は反射律・対称律は満たしますが、推移律を満たしません。
・反射律
任意の正方行列Aに対して、AA = AAですから、A～A です。
・対称律
A～Bを満たす A, B は定義より AB = BA を満たし、
これは BA = AB と同じことですから、B～A も満たすことになります。
・推移律
正方行列には単位行列Eというものが存在しますから、
任意の正方行列 A,B に対し、
AE = EA すなわち A～E
EB = BE すなわち E～B
が成り立ちます。推移律が成り立つとすれば
A～E かつ E～B ならば A～B
となるはずですが、一般にAB = BAとは限りませんから、
推移律は成立しません。

なお、ここでは例として正方行列を挙げましたが、
いわゆる「非可換群」一般について同様のことが言えます。

回答No.2

fushigichan

こんにちは。なかなか難しいですね！
まず定義から、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

集合Ｘの２つの要素の間に関係～が定義されていて、

反射律（１）ｘ～ｘ
対称律（２）ｘ～ｙ　→　ｙ～ｘ
推移律（３）ｘ～ｙ、ｙ～ｚ　→　ｘ～ｚ

の３つの条件を満たすとき、関係～を同値関係という。

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例が見つからなかったので、探してみたところ、下のような解答が
ありました。

　［反射律　対称律　　　　　　　　　］が成立
　〇Ａ：東海道新幹線のひかり号の停車駅
　〇ａＲｂ：ａ駅を通りｂ駅も通る新幹線以外の鉄道路線が存在する
　反射律・対称律は問題なく成り立つ（集合をひかり号停車駅に限定したのは、他に路線の通らない新富士を除外するため）。推移律が成り立たないのは、例えば、東京・名古屋では東海道線が、名古屋・岐阜羽島では名古屋鉄道が通る路線として存在するが、東京・岐阜羽島では共通の路線が存在しないため。

なかなか、自分では思いつかないと思います。
同値関係を探すのは簡単でも、推移律だけを満たさないのは、なかなか
ないと思います。

ご参考になれば幸いです。

回答No.1

ranx

「同値」ではない関係を探すわけですよね。
Ａ～Ａ。
Ａ～ＢならばＢ～Ａ。
しかし、Ａ～ＢかつＢ～ＣであってもＡ～Ｃとは限らない
という関係ですね。

「知人」なんかどうでしょう。
ＡとＢが知人ならばＢとＡは知人。
ＡとＢが知人、ＢとＣが知人であってもＡとＣが知人とは
限らない。
ＡとＡが知人というのはちょっと苦しいかな．．．。

お礼

ありがとうございます。
皆さんのヒントを元にもう少し考えてみます。