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関係とグラフについてですが…

  • 質問No.2288329
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お礼率 50% (6/12)

三角形AとBが合同であることは同値関係であること
を示すにはどうしたらいいのでしょうか?

反射律・対称律・推移律をどのように適用したら
いいのかわかりません。

また、オイラーグラフとオイラー経路ではあるが
オイラー閉路ではない・・・とはどういうこと
でしょうか?
オイラーグラフとオイラー閉路の違いがイマイチ
よくわかりません。

以上の2つのことについてどなたか教えて下さい。

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ベストアンサー率 57% (1014/1775)

三角形が合同であることを示すのに、幾つかのやりかたがありますけれど、「3つの辺の長さが同じ」というのを使うことにしましょう。つまり、
定義:「三角形Bが三角形Aの辺a,b,cと同じ長さの3辺を持つ」ことを「三角形Bは三角形Aと合同である」と言う。
ということにしましょう。

例えば対称律について。
普段、「三角形Bが三角形Aに合同である」をA≡Bと書いても、B≡Aと書いても構わないのは、三角形の合同が対称律を満たすことを前提にしているからです。しかしここでは「三角形の合同が対称律を満たすこと」をこそ証明したいのだから、A≡BとB≡Aは別物として厳密に区別しなくちゃいけません。そこで
「三角形Bは三角形Aと合同である」をA≡Bと書く。
と決めましょう。

 さて、任意の三角形Aについて、ある三角形Bが存在して、A≡Bであったとする。
 BはAと合同であるから、定義により、BはAの辺a,b,cと同じ長さの3辺を持つ。それらをそれぞれd,e,fとすれば、
aの長さ=dの長さ
bの長さ=eの長さ
cの長さ=fの長さ
である。ゆえに、AはBの辺d,e,fと同じ長さの3辺を持つ。ゆえに定義により、AはBと合同である。だからB≡A。以上から、「任意の三角形A,Bについて、もしA≡Bであるならば、B≡Aである」が示された。

 閉路とは、閉じた路(サイクル)です。つまりワッカになっていて、どこから出発しても元に戻って来るような路のことです。(ワッカと言っても、丸ばかりじゃなくて、例えば同じノードを2度通って8の字になっていても良いのです。)
 オイラー路とは、グラフの全ての辺を1度だけ通る路のことです。
 オイラー閉路とは、閉路であってオイラー路であるもの。だから「オイラー路であるが、オイラー閉路ではないもの」とはワッカになっていないオイラー路ですね。(オイラー路であるから、8の字になってることはありえません。)
 オイラーグラフとは、オイラー閉路を含むグラフのこと。(オイラー閉路以外の「余計な」辺があっても構いません。)
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