同値関係の示し方

質問

『集合Aにおける関係Rが反射律を満たしているとするとする。
「aRb,bRc⇒cRa」(a,b,c∈A)が成り立つとき、関係RはAにおける同値関係となることを示せ。』
という問題なのですが同値関係を示すと言うことは残りの対称律と推移律を満たせばいいのですよね？
そこまでは解かるのですが、その示し方がよく解かりません。
アドバイス願います。

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

集合A上の二項関係Rが、Aの任意の要素a,b,cについて、
(1)反射律
　aRa
(2)対称律
　aRb ⇒ bRa
(3)推移律
　aRb, bRc ⇒ aRc
を満たしているとき、Rを同値関係と言います。

【問題】
集合A上の二項関係Rが、反射律を満たしている。このとき、
　aRb, bRc ⇒ cRa (a,b,c∈A) … (1)
が成り立つならば、Rは同値関係であることを示せ。

【証明】
Rは、反射律を満たすから、
　bRb
が成り立つ。すると、(1)から、
　aRb, bRc ⇒ cRa
であるが、いま、cをbと置き換えれば、
　aRb, bRb ⇒ bRa
を得る。ゆえに、対称律
　aRb ⇒ bRa
が成り立つ。また、(1)から、
　aRb, bRc ⇒ cRa
であるから、対称律
　cRa ⇒ aRc
より、
　aRb, bRc ⇒ cRa ⇒ aRc
を得る。ゆえに、推移律
　aRb, bRc ⇒ aRc
が成り立つ。　q.e.d.

お礼

丁寧な回答を有難うございました。
自分でももう一度考えてみます。