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集合論の同値関係の基本的な問題
自然数の集合 N から N への写像全体の集合 F における二項関係 R を f R g ⇔ {n∈N: f(n)≠g(n)} は有限集合 によって定める．このとき，R は同値関係であることを示せ． という問題について． 反射律と対称律は自明ですが，推移律が自分にとって自明でありません． fRg ∧ gRh ⇒ fRh {n∈N: f(n)≠g(n)} は有限集合 かつ {n∈N: g(n)≠h(n)} は有限集合 ⇒ {n∈N: f(n)≠h(n)} は有限集合 なにかうまく理解できる方法などがありましたら教えてください．
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f(n)=g(n) ∧ g(n)=h(n) ⇒ f(n)=h(n) の対偶として、 f(n)≠h(n) ⇒ f(n)≠g(n) ∨ g(n)≠h(n). すなわち、 ｛n｜f(n)≠g(n)｝∪｛n｜g(n)≠h(n)｝⊃｛n｜f(n)≠h(n)｝ が出る。 この式の左辺が有限集合なら、右辺も有限集合である。
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