集合論＞二項関係＞反射律、対称律、推移律

質問

タイトルのごとく、反射律、対称律、推移律の質問です。
集合A上の二項関係を～とする。

このときこの二項関係が対称律、推移律を満たせば
ｘ、ｙ∈Aとして、
「ｘ～ｙかつｙ～ｘ⇒ｘ～ｘ」
が成立する
故に、二項関係が対称律と推移律を持てば、反射律をもつと考えました。

しかし、大学のレポートで、「対称律と推移律はもつが、反射律をもたない二項関係をあげよ」という問題がでできました。
上記の僕の証明は間違っているのでしょうか？
どなたか知っている方、教えてもらえますか？

回答No.4

take008 · ベストアンサー

No.2 は特殊すぎて面白くない？

では，整数全体において
ｍ～ｎ ⇔ ｍｎ＞０

０～０ でないので反射律は成り立たない。

要するに，
∃ｙ(ａ～ｙ) ⇒ ａ～ａ
が，対称律，推移律からいえるので，
∃ｘ∀ｙ(ｘ～ｙ でない)
ような例を考えればよいのです。

No.2 は，∀ｘ∀ｙ(ｘ～ｙ でない) の例
上のは，∀ｙ(０～ｙ でない) の例です

回答No.3

corpus

{a,b,c}という集合で、
Rab Rba Raa Rbb Rccという関係Rがあるとします。

Rab⇒Rba(対称律)
Rab∧Rba⇒Raa(推移律)
Rba∧Rab⇒Rbb(推移律)

RaaとRbbは対称律と推移律で成立します。
しかし
Rccは対称律と推移律からは成立しません。

回答No.2

take008

Ａ＝実数全体 の上の二項関係
ｘ～ｙ ⇔ ｘ^2＋ｙ^2＜０
が反例になっています。

回答No.1

Tacosan

その証明では「x～y ⇒ x～x」までしか言っていません.
一般に「P ⇒ Q」が言えても, そこから Q は言えないでしょ?