離散数学 二項関係 反射律 対象律 反射律について

質問

初投稿です。よろしくお願いします。

タイトルの通り離散数学の問題なのですが、教科書やノートを参照しても
答えがなかったのでどなたか詳しい方がいればと思い投稿させていただきました。
以下問題です。

下記の条件を満たす２項関係の事例をそれぞれ１つずつあげなさい。
このとき、それぞれが各条件を満たす理由を説明しなさい。

１、反射律と推移律は満たすが、対象律は成立するとは限らない。
２、推移律は満たすが、反射律と対象律は成立しない。
３、反射律と対象律は満たすが、推移律は成立しない。

１番のみ答えがあったのですが、まず、集合の例を挙げて（友達のノートに書いてあったのを見ただけでちゃんとした答えはないのですが、確か｛１，２，３，４，６，１２｝で1/1、2/2・・・などやっていた）証明していました。なんでその例が出てきたかもそれがなんで１の条件を満たすかもあまり理解できませんでした。

できれば、わかりやすく簡単に証明できればありがたいです。

２，３番は、どこにもなかったのでもし分かる方がいればよろしくおねがいします。

実は、前期にテストがあって勉強はある程度は、やったのですが、１０６人受講してて１０５人が落ちるという前代未聞な結果となったので再テストとなりました。火曜日にテストがあって必修なのでこれを落とすとキャンパス移動が出来なくなる可能性があります。

大変困っています。どうぞよろしくおねがいします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

対象律　→　対称律
１、自然数の集合で≦という関係を考えると反射律と推移律は満たすが、対称律は成立するとは限らない。
２、自然数の集合で＜という関係を考えると推移律は満たすが、反射律と対称律は成立しない。
３、M(2,Z)で
　　AB = BA
という関係を考えると反射律と対称律は満たすが、推移律は成立しない
例）
A=
┌1 1┐
└1 1┘
B=
┌1 0┐
└0 1┘
C=
┌2 0┐
└0 1┘
とすると、AB=BA, BC=CB, AC≠ＣＡ

お礼

回答ありがとうございます。
私が見た例は、質問にあげたようなものだったのですが、行列でも
できるということですね。
２、３番の例も教えてもらえませんか？

回答No.4

grothendieck

例がNo1の人と同じになってしまったので、別の例を挙げます。
１、整数の集合でa│b（aはbを割り切る）という関係を考えると反射律と推移律は満たすが、対称律は成立するとは限らない。
２、体Ｌは体Ｋの拡大体(KとLは異なる)という関係を考えると推移律は満たすが、反射律と対称律は成立しない。

お礼

私がノートで見た解答は１のような割り切れるという関係のものでした。
ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_u

>教科書やノートを参照しても答えがなかったので

よく読めば書いてある。

>１０６人受講してて１０５人が落ちるという前代未聞な結果

教科書も満足に読めないようでは、無理もありません。

お礼

なんでノートも知らないのに書いてあるか分かるんだろ？これは先生なのかな？
ノートに書いてあればわざわざ質問しませんよ。上のような解答初めて聞きましたし。
とりあえず、役にたたない回答ですね。

回答No.1

nag0720

対象律ではなく、対称律ですね。

反射律・対称律・推移律の定義が分かってますか？

整数や実数の集合では、
１は、通常の「≦」の関係
２は、通常の「＜」の関係
３は、「|x-y|≦1」を満たす関係

が条件を満たします。
理由は説明するまでもないでしょう。

お礼

ありがとうございます。
私は、反射律はaRaが成り立つ、対称律はaRb→bRaが成り立つ、推移律はaRb∧bRc→aRcが成り立つとこの程度しか分かりません。
それから1,2,3,のようなものが出てくるとは全くわかりませんでした。
理由は説明するまでもないのでしょうが・・・例付きで説明していただけると
大変ありがたいです。