同値類について

質問

環Aの左A加群Mとその部分加群Wに対して、任意のx,y∈Mでy+(-x)∈Wならばx~yを定義すると~は同値関係なのでその同値類をx+Wとします。
この時、x+W≠Φ(空集合)ですか？
また、上記が正しければ何故空集合でないと言えるかも併せてご教授頂けますと幸いです。

何卒よろしくお願いいたします。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

あと、参考書だとここの項目に限らずそのテーマの集合が暗に空でない事を認めている(明示されていない)ケースが多いですが、そう言う場合の「任意のx∈Aに対して」は「xが存在している(Aが空でない)」と捉えて良いものでしょうか？

その本でとある種類の集合が空でない事を、『『本当に』』暗に認めている、のであれば、それなら当然そのような集合Aは空でないのであるから、x∈Aなるxがとれるのは、論理的に当然。

お礼

ご回答ありがとうございました！
大変助かりました。

回答No.2

tmppassenger

Mは左A加群なのだから、Mは可換群なので、0∈Mですが、そういう話をしていますか？

回答No.1

tmppassenger

0∈Wなのだから、任意のx∈Mに対し、x~xなので、x∈x+Wですが、そういう話ではないのですか？

補足

ご回答ありがとうございます！
すみません、自分の聞きたい事が整理出来ていないままの投稿でちょっと論点ズレるかもですが、もう少し噛み砕くと、
x∈Mがあれば(取れれば)、どんなx∈Mでも0∈Wよりx~xなので、x∈x+W≠Φという事ですよね、つまり、Mが空でない事が前提に必要という認識で合ってますか？？
あと、参考書だとここの項目に限らずそのテーマの集合が暗に空でない事を認めている(明示されていない)ケースが多いですが、そう言う場合の「任意のx∈Aに対して」は「xが存在している(Aが空でない)」と捉えて良いものでしょうか？