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正規部分群の特性部分群が正規部分群である証明
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- kabaokaba
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定義からほとんど自明ではなかろうか・・・・ Bの任意の元bとGの任意の元gをとって gbg^{1}がBの元であることを示せばよい． Gの任意の元gに対してGの内部自己同型f(g)を f(g)(x)=gxg^{-1} で定める． AがGの正規部分群であるのだからf(g)(A)=A． よってf(g)はAの自己同型． さらに，BはAの特性部分群なのだから f(g)(B)=B つまり Bの任意の元bとgに対して gbg^{-1}はBの元 よって BはGの正規部分群．
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- graphaffine
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特性部分群の意味を知っていたら、自明だと思いますが。 正規部分群は全ての内部自己同型について不変な群。 特性部分群は全ての自己同型について不変な群。 当然ながら、内部自己同型は自己同型の1種ですから、 全ての自己同型について不変ならば、全ての内部自己同型について不変です。 従って、特性部分群は正規部分群です。
質問者からのお礼
ありがとうございます。 なぜ分からなかったのか自分でも分かりません。
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質問者からのお礼
ありがとうございます。 確かに自明ですね。