正規部分群の特性部分群が正規部分群である証明

質問

G：正規部分群、A：Gの正規部分群、B：Aの特性部分群
とするとき、BはGの正規部分群となること

この証明が分かりません。
どうやって証明すればいいのでしょうか？
ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

定義からほとんど自明ではなかろうか・・・・

Bの任意の元bとGの任意の元gをとって
gbg^{1}がBの元であることを示せばよい．

Gの任意の元gに対してGの内部自己同型f(g)を
f(g)(x)=gxg^{-1}
で定める．

AがGの正規部分群であるのだからf(g)(A)=A．
よってf(g)はAの自己同型．

さらに，BはAの特性部分群なのだから
f(g)(B)=B
つまり
Bの任意の元bとgに対して
gbg^{-1}はBの元

よって
BはGの正規部分群．

お礼

ありがとうございます。
確かに自明ですね。

回答No.2

graphaffine

特性部分群の意味を知っていたら、自明だと思いますが。

正規部分群は全ての内部自己同型について不変な群。
特性部分群は全ての自己同型について不変な群。
当然ながら、内部自己同型は自己同型の1種ですから、
全ての自己同型について不変ならば、全ての内部自己同型について不変です。
従って、特性部分群は正規部分群です。

お礼

ありがとうございます。
なぜ分からなかったのか自分でも分かりません。