• ベストアンサー
  • 困ってます

正規部分群の基本性質の証明について。

またお世話になります。よろしくお願いします。 正規部分群の基本性質の証明問題です。 問題___________________________ 「∀a,b,c,d∈G,aH=bH,cH=dH→acH=bdH」 ならば 「∀a,b∈G,aH=bH⇔Ha=Hb」 _____________________________ 方針、ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • kobold
  • ベストアンサー率62% (20/32)

「∀a,b∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→ab^{-1}H=H」について 仮定の「∀a,b,c,d∈G,aH=bH,cH=dH→acH=bdH」で、 分かりやすいように変数名を変えると、 「∀x,y,z,w∈G,xH=yH,zH=wH→xzH=ywH」です ここでx=a,y=b,z=b^{-1},w=b^{-1}とおくと 「∀a,b∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→ab^{-1}H=H」です 仰有るとおり「b^{-1}H=b^{-1}H」は自明ですので、 「∀a,b∈G,aH=bH→ab^{-1}H=H」が示せたことになります 後は「ab^{-1}H=H」と「Ha=Hb」が同値であることを示して終わりです

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答どうもありがとうございます! 私の力不足で同じ解答を3度も書いて頂くことになり、すみません。 お陰様でようやく理解するできました。 c,dをどのように選ぶかという部分がこの問題の一番ポイントとなる部分だったのですね。 No.1の解答の最初の7行目の意味がようやく理解できました。 前回質問に引き続き、 私の稚拙な質問に最後までお付き合い下さりどうもありがとうございます。 大変助かりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • kobold
  • ベストアンサー率62% (20/32)

>解答部分で導くべき結論部を『・・・★』としたのですが、 >この結論部を導くことなく、最後に★よりとして解答を終えているような気がするのですが、どうでしょうか? 失礼ですが、言っておられる意味がよく分かりません。 ★4つは全部同値ですよね? 最初の7行は単に考え方を書いているだけで、後半の2行と4行が回答になります。 前回は「問題の解き方」を書いてみましたが、今度は回答を書いてみます。 まず仮定ですが、「∀a,b,c,d∈G,aH=bH,cH=dH→acH=bdH」。 示すべきことは「∀a,b∈G,aH=bH→Ha=Hb」 「∀a,b∈G,Ha=Hb→aH=bH」の2つ。 最初に「∀a,b∈G,aH=bH→Ha=Hb」を示しましょう。 ∀a,b,c,d∈G,aH=bH,cH=dH→acH=bdHより、 ∀a,b∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→ab^{-1}H=H →∃h∈H,h=ab^{-1}→∃h∈H,a=hb→Ha=Hb 逆に「∀a,b∈G,Ha=Hb→aH=bH」の方を示しましょう。 ∀a,b,c,d∈G,hH=H,bH=bH→hbH=bH 今、Ha=Hbより∃h∈H,a=hbなので、aH=bH

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答どうもありがとうございます。 理解力不足ですみません・・・。 解答の 「最初に「∀a,b∈G,aH=bH→Ha=Hb」を示しましょう。 ∀a,b,c,d∈G,aH=bH,cH=dH→acH=bdHより、 ∀a,b∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→ab^{-1}H=H →∃h∈H,h=ab^{-1}→∃h∈H,a=hb→Ha=Hb」 の部分の3行目なのですが、 2番目の項「b^{-1}H=b^{-1}H」は自明な式のような気がして、最後の矢印「→ab^{-1}H=H」の部分がなぜ成り立つのかもよく分からないのですが・・・。 すみませんが、補足をお願いしたいのですが・・。 よろしくお願い致します。

  • 回答No.1
  • kobold
  • ベストアンサー率62% (20/32)

前回のように答えだけを書いても面白くないので、今回は考え方も書いてみます。 一般に、正規部分群の問題は、 aH=bHをすべて∃h∈H,a=bHで置き換えると見通しがつきやすくなります 仮定は「∃h,j∈H,a=bh,c=dj→∃k∈H,ac=bdk」 結論は「∃h∈H,a=bh⇔∃k∈H,a=kb」 ac=bdkとa=kbの形をどうあわせるかを考えます 左辺に移行してack^{-1}d^{-1}b^{-1}=1とab^{-1}k^{-1}=1 こうするとc=b^{-1},d^{-1}b^{-1}=1にできないかと考えます 「∀a,b,c,d∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→ab^{-1}H=H」 最後の部分は∃h∈H,h=ab^{-1}より、a=hbなのでHa=Hbが成立します。 逆ですが、∃h∈H,a=hbを仮定します 最終的にaH=bHを示したいので、hbH=bHが示せればいいわけです。 最終的な形がこうなるように、a,b,c,dを考えると、 「∀a,b,c,d∈G,hH=H,bH=bH→hbH=bH」

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

前回に引き続きどうもありがとうございます。 またお世話になります。よろしくお願いします。 少し回答で分からないことがあるのですが、 「仮定は「∃h,j∈H,a=bh,c=dj→∃k∈H,ac=bdk」 結論は「∃h∈H,a=bh⇔『∃k∈H,a=kb★』」 ac=bdkとa=kbの形をどうあわせるかを考えます 左辺に移行してack^{-1}d^{-1}b^{-1}=1と 『ab^{-1}k^{-1}=1★』 こうするとc=b^{-1},d^{-1}b^{-1}=1にできないかと考えます 「∀a,b,c,d∈G,aH=bH,b^{-1}H=b^{-1}H→『ab^{-1}H=H★』」 最後の部分は『∃h∈H,h=ab^{-1}★』より、a=hbなのでHa=Hbが成立します。」 解答部分で導くべき結論部を『・・・★』としたのですが、 この結論部を導くことなく、最後に★よりとして解答を終えているような気がするのですが、どうでしょうか? 私の勘違いでしたらすみません。

関連するQ&A

  • 正規部分群の基本性質の証明について。

    お世話になります。よろしくお願いします。 正規部分群の基本性質の証明問題です。 問題________________ Hを群Gの部分群とする時 『∀a,b∈G,aH=bH⇔Ha=Hb』 ならば 『∀a∈G,aH=Ha』 を証明せよ。 ___________________ ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。

  • 正規部分群の特性部分群が正規部分群である証明

    G:正規部分群、A:Gの正規部分群、B:Aの特性部分群 とするとき、BはGの正規部分群となること この証明が分かりません。 どうやって証明すればいいのでしょうか? ご教授よろしくお願いいたします。

  • 「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つか?

    お世話になります。よろしくお願いします。 「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」が成り立つことの証明を知りたいのですが。 Gが有限群の時は簡約律(ag=ag'ならg=g')から元の個数が等しいので aG=Gになるというのが分かります。(多分) 問題は群Gの元の数が無限の時です。 一般的に 「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つのでしょうか? ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ここからは補足で、 この問題の出所なのですが、 「Hを群Gの部分群、a,b∈Gで b∈aH→aH=bH」の証明です。 (証明) b=ah(h∈H)とおける。 bH=ahH=aH(←ココでhH=Hとしています。) となっています。(親切な代数学演習 現代数学社 p174)

  • 群論の交換子群について

    (問題) Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき, [G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群 となることを示せ. ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し(記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました),G/HはHによる商群とする. (質問) この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません. 手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して, {a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1) であるから, (aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH) よって,G/Hはアーベル群である. とあるのですが,(1)が示せません. (1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています. a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です. どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします.

  • 剰余類の証明

    こないだ 特定のa∈群Gに対し ∀h ∈H ∃h' ∈H HはGの部分群 ah=h'a が成立すれば、 aH=Ha と言えるのか? という質問をした者なのですが、もう一度質問させていただきます。 自分なりに考えて見たところ、 ∀h ∃h'    ah=h'a が成立するなら勿論 ah=h'h^(-1)ha h'h^(-1)=g∈Hとすると ah=gha と常になることになります。 と言う事は、 aH={ah l h∈H}={gha l h∈H} となるはずです。 ですが {gha l h∈H} は {ha l h∈H}=Ha と同等であるため (gha=h'a∈Ha => gHa⊆Ha, ha=g(g^(-1)h)a∈gHa => Ha⊆gHa) aH=gHa=Ha となる。 という証明を考えついたのですが、 これはあっているのでしょうか? 真贋の判定よろしくお願いします。

  • 開部分群と閉部分群

    位相群Gの部分群Hが開集合であるか閉集合であるかによって、開部分群/閉部分群と定義されていますが、Hによる剰余類の直和 G = H ∪∪_(λ∈Λ) (Haλ), a_λ ∉ H を考えると、結局、Hが開集合であれば(Haが開集合だから∪Haも開集合。その補集合である)Hは開集合、閉集合であれば(Haが閉集合だから∪Haも閉集合。その補集合である)開集合となって、結局、開部分群⇔閉部分群となるのではないかと思うのですが、開部分群と閉部分群を区別する意味はあるのでしょうか?

  • Hが部分群の時x∈aHならx∈Ha^(-1)でしょうか?

    お世話になります。よろしくお願いします。 代数の本を読んでいて、剰余類の所で気になっていることがあります。 「群Gの部分群H、a,b∈Gでx∈aHならx∈Ha^(-1)」が正しいのかどうかということです。 証明を試みたのですが、できずに正しいかどうか確信が持てずにいます。 どなたか証明の分かる方教えてください。 よろしくお願いします。

  • 余剰群が正規部分群でなければいけない証明

    余剰群の演算において 群Gの部分群Kでa,b ∈Gの時 Ka*Kb=Kab が成り立つ時、 部分群Kは正規部分群である。 というのを証明したいのですが、 一つのやり方として、 k,k'∈K Ka=Ka*K1=Ka*Kk=Kak と出来き、 ka=k'ak'' =>k'^-1k=ak'a^-1∈K となることにより、Kは正規部分群であると言える、という証明'が記述してあるのは拝見したんですが、 もう一つの証明の仕方として、 g∈aK Kg=Kak'=Ka*Kk'=Ka => kg=k'a g=k^-1k'a∈Ka から aK⊆Ka が示せます。 そして Ka⊆aK を示すことが出来れば、Ka=aKとなり、 正規部分群の定義 aK=Kaとして、Kが正規部分群と言えるとなります。 ですが、 どうやってKa⊆aKを証明すればいいのか分かりません。。 どなたか分かる方よろしくお願いします。

  • 部分群であることの証明

    部分群であることの証明 Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。 部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、 同値関係の定義については理解しています。 ですが証明文を書くことができず、困っています。 回答よろしくお願いします。

  • 加法群は半直積の正規部分群であることについて

    GをGL(n,R)の部分群とし、G×R^n上に (A,a)・(B,b):=(AB,a+Ab) という演算・を定め、これをGとR^nの半直積とし、G∝R^nと書くことにします。 このとき、加法群(R^n,+)はG∝R^nの正規部分群であるといえるのでしょうか? よろしくおねがいします。