交代群A4が位数の部分群を持たないことについて

質問

交代群A4が位数6の部分群を持たないことはどうやって示せばよいでしょうか？

ヒント：
もし位数の部分群を持つとすると，それはA4の正規部分群でなければならない．
しかしA4の共役類は1,3,4,4個の元からなるから，位数の部分群は存在しない．

ヒントを見てもわかりません．まず位数の部分群を持つとすると，それはA4の正規部分群でなければならないという理由からわかりません．

この流れで，証明を書いていただけると助かります．

よろしく願い致します．

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

１　一般に、指数が2の部分群は、すべて正規部分群である。理由は、次のとおり。Gを群とする。Hを、指数が2の、Gの部分群とする。xを、Gの元であってHに含まれないものとする。指数が2だから、Hを法とするGの左剰余類は、HとHxから成る。Hxは、「Gの元のうちHに含まれないもの全体」である。同じように、「」内のことが、右剰余類xHにも言える。よって、Hx=xH、すなわちx^(-1)Hx=Hである。

２　A4に位数が6の部分群Jがあったとすると、Jの指数は2である（A4の位数が12だから）。よって、１により、Jは正規部分群である。、

３　A4の共役類は1,3,4,4個の元からなる。これは、A4の各元の共役関係を実際に調べてみれば分かる（後出の参考を参照）。

４　Jが正規部分群だから、Jの元の共役元はすべてJに含まれる。すなわち、Jがある共役類の元を含んだとすると、Jは、その共役類を丸ごと含む。よって、３により、Jの位数は、1,3,4,4から選んだどれかの組み合わせの合計で表されなければならない。

５　しかし、1,3,4,4からどのように組み合わせても、合計が6にならない。この矛盾は、そもそも位数が6の部分群が存在すると仮定したことから生じたものである。

（参考）A4の元を下のようにaからlと置けば、共役類は、{a}、{b,f,g,k}、{c,e,h,j }、{d,i,l}である。以下、1,2,3,4をx,y,z,wに移す置換を[xyzw]と記す。巡回置換を( )で囲んで示す。

　　a = [1234] = 単位元
　　b = [1342] = (234)
　　c = [1423] = (243)
　　d = [2143] = (12)(34)
　　e = [2314] = (123)
　　f = [2431] = (124)
　　g = [3124] = (132)
　　h = [3241] = (134)
　　i = [3412] = (13)(24)
　　j = [4132] = (142)
　　k = [4213] = (143)
　　l = [4321] = (14)(23)