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加法群は半直積の正規部分群であることについて

GをGL(n,R)の部分群とし、G×R^n上に (A,a)・(B,b):=(AB,a+Ab) という演算・を定め、これをGとR^nの半直積とし、G∝R^nと書くことにします。 このとき、加法群(R^n,+)はG∝R^nの正規部分群であるといえるのでしょうか? よろしくおねがいします。

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  • arrysthmia
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回答No.1

混乱していますか? 部分群以前に、 R~n は G∝R~n の部分集合ですらありません。 G の単位元を E と書くとして、 G∝R~n の部分集合 H={(E,x)|x∈R~n} が 正規部分群になるか? という質問なら、意味がありそうです。 一見して明らかに、H は G∝R~n の部分群であり、 R~n の加法群と同型です。 正規性については、定義に従って、 (A,a)・H=H・(A,a) であることを 確認すればよいでしょう。 計算してみると、両辺の集合とも {(A,x)|x∈R~n} となって、一致します。 A が GL の元であるため、可逆である ことがポイント。 すなわち、H は G∝R~n の正規部分群です。

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