Abel群について

質問

Gを群とする．
このとき，ある整数n≧3が存在して，Gの任意の元a,bに対して，
(ab)^k=a^k・b^k
が，n=k，k+1，k+2に対して成り立つとき，GがAbel群である事を示せ．

この問題について教えてください．

GがAbel群であることを示したいので，Gの任意の元a,bに対して，ab=baが成り立つことをいえればいいですが，どうとりかかればよいでしょうか？

(ab)^k=a^k・b^k

が，n=k，k+1，k+2について成り立つので，

(ab)^(k+2)=a^(k+2)・b^(k+2)

で，

ab=(a^(-1))^(k+1)・(ab)^(k+2)・(b^(-1))^(k+1)

から初めて計算してみたりしましたがうまいこといきませんでした．

よろしくお願いします．

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

松坂和夫の「代数系入門」の第2章第2節問題8に同一の
問題がありました。しかし答えは載っていない....

で、諦めずに丁寧にやりましょう。
先ず(ab)^k = a^k b^k (1)でした。

次に、(ab)^(k+1) = a^(k+1) b^(k+1) (2)に上の式を使うと、
(ab)^k (ab) = a^k b^k ab = a^(k+1)b^(k+1)であるから、
左からa^(-k),右からb^(-1)を掛け、b^k a = a b^k (3)

同様に (ab)^(k+2) = (ab)^(k+1) (ab)
= a^(k+1) b^(k+1) ab = a^(k+2) b^(k+2)
であることから b^(k+1) a = a b^(k+1) (4)
これに(3)を使うと

b b^k a = b a b^k = a b^(k+1)
右からb^(-k)をかけると ba= ab //