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フーリエ変換は、群ですか？
フーリエ変換をF、逆フーリエ変換をF~ とすると、 群の定義 １．要素A、Bがあるとき、ABも要素である （関数2＝F 関数1 と考えれば、関数3＝FF 関数1＝F 関数4） ２．結合葎が成り立つ ３．特別な要素Eが存在して、任意の要素Aについて AE=EA=A が成り立つ （Eは１＝F~F＝F?とおくと、F?は「δ関数を掛けて積分」となる） ４．任意の要素Aについて BA=AB=E となる Bが存在する （フーリエ変換の逆元は逆フーリエ変換） なので、群のように思えるのですが、 どうなのでしょうか？
- morimot703
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フーリエ変換がユニタリ変換であることが端的に示されるのは量子力学においてでしょう。 状態ベクトルをある正規直交系で展開した成分と、別の正規直交系で展開した成分とは互いに ユニタリ変換で移りあいます。同じ正規直交系を二つとれば、恒等変換もユニタリ変換です。 一方、不確定性を満たす二つの演算子(例えば位置と運動量)の固有状態がつくる正規直交系で 状態ベクトルを展開した成分(例えば波動関数と運動量空間波動関数)の間の関係がフーリエ変換です。 フーリエ変換は二つの正規直交系で展開した成分間の関係なのでユニタリ変換に含まれますが、 恒等変換はフーリエ変換はではありません。 ユニタリ変換はユニタリ群を成し、恒等変換はユニタリ群の単位元です。 フーリエ変換はユニタリ群の部分集合ですが、単位元を含まないので部分群ではないと言えます。
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- Jyaikosan
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群の定義１をFとF~に適用します。 『要素F~、Fがあるとき、F~F＝F? も要素である』 したがってF?もフーリエ変換なので F?は「指数関数exp(i～)を掛けて積分」のはずですよね。 それなのに、実際は ＞F?は「δ関数を掛けて積分」 となっています。 以上のことからフーリエ変換は群ではないと思います。
お礼
明確な回答 ありがとうございました。
- qqqqqhf
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積を合成として、Fの巡回群を考えていると思いますが、 フーリエ変換の合成って聞いたことないですね。
お礼
ありがとうございます。 Googleっていたら、 ＞離散フーリエ変換 はユニタリー変換の1つとして表現され、、、 という記事がありました。 http://laskin.mis.hiroshima-u.ac.jp/Kougi/05a/SL/SL04pr.pdf ユニタリー変換は、ユニタリー群を成しますから、単純に考えれば、 「離散フーリエ変換 は、ユニタリー群の表現の1つに含まれる」 ような気がします （が、僕のレベルでは？？？） もっと勉強します。 上記の記事について、アドバイスを頂ければ、幸いです。
- sugakusya
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そんな難しそうな事を考える前に少し簡単な群の例を。 実数とかけ算からなる代数系＜Ｒ,*＞は群である。なぜなら Ｒ∋a,b,c,1=Eとすると、 １. a*b∈Ｒ ２．a*(b*c)=(a*b)*c ３．a*1=1*a=a ４．a*(1/a)=(1/a)*a=1 整数と足し算からなる代数系＜Ｚ,+＞は群である。なぜなら Ｚ∋a,b,c,0=E として １．a+b∈Ｚ ２．a+(b+c)=(a+b)+c ３．a+0=0+a=a ４．a+(-a)=(-a)+a=0 これで分かってもらえたと思いますが、群を言うには集合と、演算を定義しなければなりません。ですから「フーリエ変換は群ですか？」という質問は集合も演算もなにを指しているのか分からず、答えようがありません。 ちなみに元は要素の事と思ってください。すると 「フーリエ変換の逆元は逆フーリエ変換」 からフーリエ変換を元としてとらえているように思え、 「１．要素A、Bがあるとき、ABも要素である （関数2＝F 関数1 と考えれば、関数3＝FF 関数1＝F 関数4）」 からは関数を要素としてとらえているように思えます。
お礼
ありがとうございます。 ＞群を言うには集合と、演算を定義しなければなりません。 ですが、例えば「並進群」の場合、ｘをｘ＋ｎa にずらす操作をTnとすると、 ｛Tn;ｎ=0,±1,±2,±3,,,｝という集合は、群を成す と僕の持っている本（物理で群とはこんなもの）にあります。 この場合、Tnは元だと思いますが、おっしゃる「演算」は、何なのでしょうか？ 僕は、Tnに続けてTm を行うこと だと思うのですが、合ってますか？
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＞部分集合ですが、単位元を含まないので部分群ではない 了解です。 ありがとうございました。