フーリエ変換

質問

フーリエ変換について。

f(x)=e^(-x^2/2a^2)について。

A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx
B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx
としたときフーリエ変換A(k),B(k)を求めよ。

またG(k)=∫[-∞→∞]f(x)e^(-ikx)dxとしたとき、G(x)も求めよ。という問題についてなんですが、G(k)=A(k)-iB(k)となることはすぐにわかります。

解答にはA(k)=√(2π)ae^｛(-ak)^2/2｝
B(k)=0
G(k)=A(k)となっています。

ここでA(k),B(k)のみが答えにかかれていますが、なぜこのように導かれるのでしょうか？
非常に難しい式になるようですが、なぜこのように求められているのでしょうか？

積分範囲は-∞→∞と定義ではなっていますが、これは周期関数ではない場合での話ですよね。
すなわち一般関数において-∞→∞となるわけですが、このf(x)でも積分範囲は-∞→∞ですか？

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

補足について

これはちょっと微妙な話ですね。
量子力学のようですが、正しい位置と運動量の不確定性なら

ΔxΔp　≧　h/4π

で、運動量と波数の間にｐ＝hk/2πの関係があるので位置と波数の不確定性は

ΔxΔk　≧　1/2

となります。しかし、量子力学の講義の最初のほうでγ線顕微鏡やらを例に出して不確定性を教えるところではプランク定数程度と教えます。つまり、この場合、不確定性を

ΔxΔp　～　h

で教えます。この式で運動量と波数の関係を使うと

ΔxΔk　～　2π

となります。講義の進め方の都合で、こういう計算をさせたかったのだと推測します。

しかし、ご指摘の通り、このままガウス関数で不確定性関係を出してしまうと、

＞これではΔxΔk=1となりませんか……？

となります。この点は、質問者さんのほうが正しいです。2πは出てきません。

どこまで量子力学を習っているのかわかりませんが、さらに言うと、不確定性を計算するためには波動関数そのものではなく存在確率で計算する必要があります。フーリエ変換で結びついているのは波動関数同士なので、不確定性を計算するためにはf(x)、G(k)ともに絶対値の二乗を取った上で標準偏差を求める必要があります。するとそれぞれの標準偏差がともに1/√2になるので両方をかけると1/2となり、めでたく最初の関係

ΔxΔk　≧　1/2

が出てきます。

お礼

色々と詳しく教えていただきありがとうございました．
これからまた勉強して，知識をつけてからまたこの問題をじっくり眺めてみようかとおもいます．

回答No.2

hitokotonusi

B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx=0

は、ガウス関数f(x)が偶関数、サインが奇関数なのですぐに0であることがわかりますね。
したがって、

＞G(k)=A(k)となっています。

もあきらかです。あとは、

＞A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx

ですが、これはたぶん、G(k)を計算したほうが早いと思います。

G(k)の計算はコーシーの積分公式を利用するのが一番普通かとおもいますが、
別の方法もあります。

http://okwave.jp/qa/q5491717.html

を参照してください。
最近、同じことを二度書く元気がなくて。。。。過去ログですいません。

＞このf(x)でも積分範囲は-∞→∞ですか？

f(x)は、どう見ても周期関数じゃないですよね？

ちなみに、周期関数のときはフーリエ係数(フーリエ級数展開参照)、周期関数でない場合はフーリエ変換です。（関数が条件を満たす必要がありますが)

回答No.1

alice_44

とりあえず、「ガウス積分」をググれ。

補足

回答をしていただきありがとうございます。
もう一つ質問なんですが、f(x)のx空間での広がりはa程度であるから、Δx=aと考えられる。同じような考え方でA(k)のk空間での広がりを求めよ。この結果ΔxΔk=2πという不確定性関係が成り立つことを示せ。とあるのですが、解答にはA(k)のk空間での拡がりは1/aとあります。

これではΔxΔk=1となりませんか……？