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合成関数とフーリエ変換の問題？？
この前、 f(x) =e^(-x) (0≦x) =0 (x≦0) g(x) =0 (0＜x) =e^x (x≦0) という関数について、 f*g（fとgの合成積） Ff(ｆのフーリエ変換) Fg（のフーリエ変換）の三つを求めなさい、 という問題が出たのですが、さっぱり分かりませんでした。 一応それぞれの定義は分かっているんですが、合成積については、どの式とどの式をかけて、どこの範囲で積分したらよいのやら…。 また、フーリエ変換もどの式をどの範囲で積分したらよいのか分かりません。 どなたか、簡単にでも結構なんで、分かる方教えてください。よろしくお願いします。
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- nakaizu
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定義がわかっていれば、定義式に当てはめるだけで計算できるはずです。 あなたが理解している定義を教えてくだされば、どこでつまずいているのかがわかると思います。 合成積の定義によっては積分区間が明示されていないこともありえます。この問題の場合は常識的には-∞から∞が積分区間です。もっともコンパクトサポートなので、実際の積分区間は有界です。 Fourier変換は教科書により微妙に定義が違うことがあります。（本質的には同じですが） なお、No１の回答の方は何かを勘違いされていると思われます。
補足
no.1のかたの補足にも書いたように、 どうやって－∞から∞まで積分するのか分かりません。 －∞から0までの範囲と、0から∞の範囲に分けてやればよいのでしょうか？ それにしても例えばfのｘ＜0の範囲で、「0を積分する」ということが分かりません。 0を積分したら0ですか？
- graduate_student
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まず,f(x)とg(x)のグラフを書きましょう. 2つのグラフを描くことができたら,積をとりましょう. （例）x=aでのf(x)とg(x)の積は,f(a)*g(a)ですね. 次にフーリエ変換ですが,積分区間は-∞から∞までです. つまり,∫f(x)dxを-∞から∞まで積分しましょう.
補足
積というのは、 e^(-x)*0 と e^x*0 を計算するという意味ですか？ するとこのf*gの答えは0になるということでしょうか？ それから、フーリエ変換は、 e^(-x),e^xをそれぞれ－∞から∞まで積分すればいいんでしょうか？ でも、fは0＜ｘにおいて0だし…。－∞から∞で積分しちゃっていいんでしょうか？
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お礼
すみません、最初のほうの、間違いに関するご指摘は、仰るととおりです。詳しいご回答どうもありがとうございました。おかげさまで解けました！