フーリエ変換の問題です。

質問

実関数f(x)に関するフーリエ変換F(k)と、そのフーリエ逆変換をそれぞれ
F(k) = ∫[-∞～∞] f(x)e^(-ikx) dx
f (x) = (1/2π)∫[-∞～∞] F(k)e^(ikx) dk
と定義したとき、f(x)が
f(x) = 1 (|x| < a)
f(x) = 1/2 (|x| = a)
f(x) = 0 (|x| > a)
(※aは正の定数)
と与えられた時
問1.-4 ≦ k ≦ 4の範囲でグラフを描きF(0)の値とF(k)=0となるkの値を図に記せ。
問2.前問の結果とフーリエ逆変換を用いて積分

∫[-∞～∞] {sin(ka)cos(kx)/k} dk

の値を求めよ。
問3前問の結果より、積分

∫[0～∞] {(sinx)/x} dx

の値を求めよ。

という問題なのですが、問1については積分範囲[-4～4]として、
さらにf(x)は偶関数とみなせるので実数部cos(kx)のみを積分して(2/k)sin(4k)、
これよりグラフはy軸を対称とした減衰sinのグラフとなり、
±0に近づくにつれ値は正に発散(但しF(0)=0に収束)するグラフを得ました。
さらに-4≦k≦4からk = ±(0,π/4,π/2,3π/4,π,5π/4)を
0をとる点としてグラフを描いたのですが
模範解答が無いため、いまいち確証が持てません。
また、問2以降の解法が分からず困っています。

お手数ですが、問1の導出が正しいかということと、
問2以降の解法について教えて頂けないでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

問1
F(k)=∫_{-∞～∞} f(x)e^{-ikx} dx
=∫_{-a～a}e^{-ikx}dx
∴
F(0)=∫_{-a～a}dx=2a
k≠0のとき
F(k)=[e^{-ikx}/(-ik)]_{-a～a}
=i(e^{-ika}-e^{ika})/k
=2sin(ka)/k
F(k)=2sin(ka)/k=0のとき
ka=nπ
∴
k=nπ/a
-4≦nπ/a≦4
-4a/π≦n≦4a/π
aの値によってグラフは変化する

問2
f(x)={1/(2π)}∫_{-∞～∞} F(k)e^{ikx} dk
=(1/π)∫_{-∞～∞}[sin(ka)e^{ikx}/k] dk
=(1/π)∫_{-∞～∞}[sin(ka)cos(kx)/k] dk
+i(1/π)∫_{-∞～∞}[sin(ka)sin(kx)/k] dk

∫_{-∞～∞}[sin(ka)cos(kx)/k] dk
=πf(x)
=π(|x|<a)
=π/2(|x|=a)
=0(|x|>a)

問3
a=1/2=xとすると
∫_{-∞～∞}[sin(ka)cos(kx)/k] dk
=∫_{-∞～∞}[sin(k/2)cos(k/2)/k] dk
=(1/2)∫_{-∞～∞}[sin(k)/k] dk
=(1/2){∫_{-∞～0}[sin(k)/k] dk+∫_{0～∞}[sin(k)/k] dk}
=∫_{0～∞}[sin(x)/x]dx
=π/2

お礼

返答が遅れてしまい申し訳ありません。
無事に解けました。ありがとうございます