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逆フーリエ変換
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#1,#2です。 フーリエ逆変換の記号の訂正です。 A#2の上から7行目 ＞={1/(2a)} L^(-1){1}|(x=x+a) ={1/(2a)} F^(-1){1}|(x=x+a) ↑ F(ω)=1のフーリエ逆変換した「xの関数」のxを(x+a)に置換する
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- info22
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>{1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω =g1(x)+g2(x)=f(x)と置くと g1(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω]dω ={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/(iω)]dω g1'(x)={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)]dω ={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(iaω)}{exp(ixω)]dω ={1/(2a)} L^(-1){1}|(x=x+a) ={1/(2a)}δ(x+a), δ(x)はディラックのデルタ関数(参考URL)。 g1(x)=∫{1/(2a)}δ(x+a)dx={1/(2a)}u(x+a)+C1 同様に g2(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(-a+x)ω)/ω]dω ={1/(2a)}u(x-a)+C2 f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)}+C (C=C1+C2) f(-∞)=0とすれば、 C=0 ∴f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)},u(x)はユニットステップ関数。 これはもとのf(t)と同じです。 計算の仕方は、フーリエ変換の公式をよく調べてじっくり考えて 自分でお考え下さい。
- info22
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＞フーリエ変換したら sin(ax)/ax となったのですが、 となりませんね。 なぜフーリエ変換したのに,変換後の式にxが現れるのだろうね。 しっかりして下さい。 ちゃんとフーリエ変換すれば、逆変換もできるはず。 質問するには、質問者さんの解答の式変形や逆変換の定義式などを ちゃんと書いて質問して下さい。
補足
すいません・・・関数がごっちゃになってました・・・ f(x)=1/2a(|x|<a) , 0(|x|>a) をフーリエ変換したら F(ω)=sin(aω)/((aω) でした。 それを逆変換の公式にあてはめると 1/2π｛∫[-∞,+∞][ F(ω)*exp(iωx) ]dω｝となると思うのですが sin(aω)/(aω)*exp(iωx)の積分の仕方がわかりませんでした。 間違ってると思いますが、色々な方法で計算してみて、 sin(aω)を｛exp(iaω)-exp(iaω)}/2i の形にしてまとめると 1/4πai｛∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω｝ としてみましたが、積分ができませんでした・・・何か解き方があれば教えてください。
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