cos(ax)をフーリエ変換する問題

質問

単なるcos(ax)　でなく、
x＜X0でｆ（ｘ）＝０、ｘ≧x0　でｆ（ｘ）＝cos(ax)という関数ののフーリエ変換です。
（ただし　ａx0＝π/2 です）

ただのcos(ax)　のフーリエ変換は、
∫[-∞、+∞] {exp(iax) + exp(-iax) } exp(－ikx) dx
＝1/√2π {δ（ｋ－ａ) + δ（ｋ+ａ)}
なので、
この半分に exp(iｋ何とか）　を掛けたものかとなぁ　と思うのですが、わかりません。
アドバイスをお願いします。

回答No.2

Har-mo-nize · ベストアンサー

u(x)をヘビサイド関数とすると、f(x)=u(x-x0){exp(iax)+exp(-iax)}/2 と書けます。
これをフーリエ変換すると、
∫[-∞,∞] u(x-x0){exp(iax)+exp(-iax)}/2 exp(-kx)dx
=(1/2)∫[-∞,∞] u(x-x0)[exp{-i(k-a)x}+exp{-i(a+k)x}]dx
=(1/2)∫[-∞,∞] u(x)[exp{-i(k-a)(x+x0)}+exp{-i(a+k)(x+x0)}]dx　　平行移動
=(π/2)[{1/{iπ(k-a)}+δ(k-a)}exp{-i(k-a)x0}+{1/{iπ(k+a)}+δ(k+a)}exp{-i(k+a)x0}]　　∵u(x)のフーリエ変換はπ{1/(iπk)+δ(k)}
=(1/2)exp(-ikx0)[1/(k-a)-1/(k+a)+iπ{δ(k-a)-δ(k+a)}]　　∵exp(±iax0)=±i(複号同順)
となります。
u(x)が掛けられたために、デルタ関数に分数関数が加えられてexp(-ikx0)が乗じられた形になっています。

お礼

詳しく計算して頂き、感謝です。
ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

f(x) = H(x-x0) cos(ax) (ただしH(x)=if x>0 then 1, else 0)
従って，
Fourier(f)= Fourier(H(x-x0))＊Fourier(cos(ax))　（ただし＊はconvolution)
Fourier(H(x-x0))=... あとはご自分で。

お礼

アドバイス頂き、ありがとうございました。