フーリエ変換がよくわかりません。

質問

フーリエ積分の勉強を始めたばかりで、まだ慣れずどうやればいいのかわかりません。
とても初歩的なことだと思いますがお願いします。

f(x)=exp(-x^2/2)
のフーリエ変換を求めたいのですが、

F（f(x)）=1/√2π∫（-∞～∞）exp(x^2/2+iωx)dx

としてからの変換がわかりません。

その際
∫（-∞～∞）exp(-αx^2)dx=√π/α

を用いれます。

フーリエ変換というより積分計算かもしれないのですが、教えてください。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

質問に騙されたので-の付け忘れを修正する

F(ω)=∫(-∞～∞)exp(-x^2/2+iωx)dx
とする
F(ω)=∫(-∞～∞)exp(-(x-iω)^2/2-ω^2/2)dx
F(ω)=exp(-ω^2/2)∫(-∞～∞)exp(-(x-iω)^2/2)dx
これを求めるには
lim(r→∞)∫(-r-iω→r-iω→r→-r→-r-iω)exp(-z^2/2)dz=0
の左辺の長方形積分経路の各辺の積分を考えれば分る

しかしf(x)のフーリエ変換の定義は
1/√(2π)∫（-∞～∞）exp(-x^2/2-iωx)dx
ではないのか？
流儀によっては
∫（-∞～∞）exp(-x^2/2-iωx)dx
や
∫（-∞～∞）exp(-x^2/2-i2πξx)dx
だろう

1/√2π=π/√2だからカッコで囲め！

お礼

ありがとうございます。
先生から配布されたプリントが一部ミスプリだったみたいで、-iωxをiωxとそのまま打ち込んでしまいました。

カッコのルール気をつけます。

回答No.1

reiman

F(ω)=∫(-∞～∞)exp(x^2/2+iωx)dx
とする
F(ω)=∫(-∞～∞)exp((x+iω)^2/2+ω^2/2)dx
F(ω)=exp(ω^2/2)∫(-∞～∞)exp((x+iω)^2/2)dx
これを求めるには
lim(r→∞)∫(-r+iω→r+iω→r→-r→-r+iω)exp(z^2/2)dz=0
の長方形積分経路の各辺の積分を考えれば分る

しかしf(x)のフーリエ変換の定義は
1/√(2π)∫（-∞～∞）exp(x^2/2-iωx)dx
ではないのか？
流儀によっては
∫（-∞～∞）exp(x^2/2-iωx)dx
や
∫（-∞～∞）exp(x^2/2-i2πξx)dx
だろう

1/√2π=π/√2だからカッコで囲め！

お礼

ありがとうございます。