フーリエ変換の対称性について。

質問

講義で、f(x)= 1/(a^2 + x^2) のフーリエ変換で、対称性を確認せよとのことで、問題提示がなされました。
ヒントとして、g(x)=exp{-a|x|}　のフーリエ変換から、対称性を考慮すればよいとあるのですが、どうしても詰まってしまいました。

ちなみに　g(x)=exp{-a|x|}　のフーリエ変換は
G(ω)=Ｆ[g(x)]=a/π(a^2 + ω^2)　という感じで、だいたいは答えに近づいている気がしています。（間違っていたら申し訳ありません。）

ここから、対称性　2πＦ[G(x)]=f(-ω)をつかい、どのように初めの与式のフーリエ変換を算出するか教えていただきたいです。

回答No.1

Tacosan

その問題提示にある「対称性」というのはどのような (あるいは何と何の) 対称性のことを指しているのですか?
また, 「対称性を確認せよ」という問題提示であるにもかかわらずヒントで「対称性を考慮すればよい」というのは腑に落ちません. 「対称性」が満たされるかどうか分からないから「確認する」のに対し「対称性を考慮する」というのは「対称性」を前提にしているように見えます.

補足

自分も、数学を専攻しているわけでないので、フーリエ展開の対称性がよくわかっていません。おそらく、ωとxの対称性ではなかろうかと思います。

また、後者については、単刀直入に言うならば、問題を解けという意味です。