- ベストアンサー
フーリエ変換の指数の符号
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1の回答者の通りでよいと思いますが,多少補足します.数学的には一方をフーリエ変換,他方をフーリエ逆変換と呼びます.実体を扱う物理学ではF(k)をk運動量空間,f(x)をx座標空間と呼び,或いはF(k)を逆空間,f(x)を実空間と呼びます.そしてF(k)の世界とf(x)の世界を頻繁に往復することが実際には必要になるのです.ここで最重要なことは質問者は指数関数の肩の位相因子をikxとしましたが,2πikxとツーパイを付加する場合もあり分野で慣習が異なりますが混合は許されません.結論からいえば後者の方が簡単でそのまま逆変換できます.しかしツーパイを省略すると,逆変換の際に積分する前に定数1/2πを付けたり,平方根にしたりと慎重な注意が必要です.物理学の主流は2πをつけないのが習慣です.逆変換の際はよく注意して下さい.
その他の回答 (2)
- Teleskope
- ベストアンサー率61% (302/489)
>> それとも本質的に何か裏があるのでしょうか。<< yes.フーリエ変換が「発明」された当初のことを 将来どこかで学んでください。exp(-X)はXが大きく なるに従ってゼロに近付きます。exp(X)は大きくな る一方です。 で、一筋縄では積分できない関数に 前者を掛けると 積分できちゃう場合が多いのです。 後者ではそうは行きそうもないのは 想像できます ね。 フーリエ変換はツールです。物理では 関数が積分 できれば とても有り難いことなんです。それゆえ 「発明」の当初から exp(-X) の方を使っています。 この辺の事情の定番としてガンマ関数があります。 すでに習ってますか?そのときこの話が出ると良い んですが。 数学では 具体的に積分できるか否か は本質的な事ではないので、±の優劣は眼中にありま せん。 kxの他に、ωt=2πft が使われますが、これも分 野によって多様です。通信、符号理論の分野では -4π^2ft というのも見ます。変換/逆変換で前に出 てくる係数1/2πも、古典物理と量子物理で違えて ます。料理する対象に合わせてナイフを変えるがご とくです。まさにツールですね。フーリエ変換の公式 がいっぱい存在するのには、こういう裏があります。
お礼
追加の回答わざわざどうもありがとうございます。 自分で言うのもなんですが、ますます理解が深まったと思います。 ガンマ関数は前セメスタで一度やりましたがあまり覚えてません…ちょっと見直してみます。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
世の中の決まりです もしあなたが反対符号を選ぶのならばいちいち断らないと誤解を受けます 論理的にはどっちでもかまいません 日本は車が左側通行 アメリカは右側通行 という以上のものではありません
お礼
回答ありがとうございます。 分かりやすい例ですね。ただ自分は、左側通行に決まったのはなにか事情があったんじゃないか…とどうでもいいことを考えてしまうタイプなんですf(^_^;
関連するQ&A
- cos(ax)をフーリエ変換する問題
単なるcos(ax) でなく、 x<X0でf(x)=0、x≧x0 でf(x)=cos(ax)という関数ののフーリエ変換です。 (ただし ax0=π/2 です) ただのcos(ax) のフーリエ変換は、 ∫[-∞、+∞] {exp(iax) + exp(-iax) } exp(-ikx) dx =1/√2π {δ(k-a) + δ(k+a)} なので、 この半分に exp(ik何とか) を掛けたものかとなぁ と思うのですが、わかりません。 アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換がよくわかりません。
フーリエ積分の勉強を始めたばかりで、まだ慣れずどうやればいいのかわかりません。 とても初歩的なことだと思いますがお願いします。 f(x)=exp(-x^2/2) のフーリエ変換を求めたいのですが、 F(f(x))=1/√2π∫(-∞~∞)exp(x^2/2+iωx)dx としてからの変換がわかりません。 その際 ∫(-∞~∞)exp(-αx^2)dx=√π/α を用いれます。 フーリエ変換というより積分計算かもしれないのですが、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換
フーリエ変換について。 f(x)=e^(-x^2/2a^2)について。 A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx としたときフーリエ変換A(k),B(k)を求めよ。 またG(k)=∫[-∞→∞]f(x)e^(-ikx)dxとしたとき、G(x)も求めよ。という問題についてなんですが、G(k)=A(k)-iB(k)となることはすぐにわかります。 解答にはA(k)=√(2π)ae^{(-ak)^2/2} B(k)=0 G(k)=A(k)となっています。 ここでA(k),B(k)のみが答えにかかれていますが、なぜこのように導かれるのでしょうか? 非常に難しい式になるようですが、なぜこのように求められているのでしょうか? 積分範囲は-∞→∞と定義ではなっていますが、これは周期関数ではない場合での話ですよね。 すなわち一般関数において-∞→∞となるわけですが、このf(x)でも積分範囲は-∞→∞ですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題です。
実関数f(x)に関するフーリエ変換F(k)と、そのフーリエ逆変換をそれぞれ F(k) = ∫[-∞~∞] f(x)e^(-ikx) dx f (x) = (1/2π)∫[-∞~∞] F(k)e^(ikx) dk と定義したとき、f(x)が f(x) = 1 (|x| < a) f(x) = 1/2 (|x| = a) f(x) = 0 (|x| > a) (※aは正の定数) と与えられた時 問1.-4 ≦ k ≦ 4の範囲でグラフを描きF(0)の値とF(k)=0となるkの値を図に記せ。 問2.前問の結果とフーリエ逆変換を用いて積分 ∫[-∞~∞] {sin(ka)cos(kx)/k} dk の値を求めよ。 問3前問の結果より、積分 ∫[0~∞] {(sinx)/x} dx の値を求めよ。 という問題なのですが、問1については積分範囲[-4~4]として、 さらにf(x)は偶関数とみなせるので実数部cos(kx)のみを積分して(2/k)sin(4k)、 これよりグラフはy軸を対称とした減衰sinのグラフとなり、 ±0に近づくにつれ値は正に発散(但しF(0)=0に収束)するグラフを得ました。 さらに-4≦k≦4からk = ±(0,π/4,π/2,3π/4,π,5π/4)を 0をとる点としてグラフを描いたのですが 模範解答が無いため、いまいち確証が持てません。 また、問2以降の解法が分からず困っています。 お手数ですが、問1の導出が正しいかということと、 問2以降の解法について教えて頂けないでしょうか。 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学のフーリエ変換、およびデルタ関数の問題です!
数学のフーリエ変換、およびデルタ関数の問題です!助けて下さい(><;) (4) f(x)=(e^ix)/(x^2+1)とするときf(x)のフーリエ変換F(k)=(1/2π)∫[-∞,∞]e^(-ikx)・f(x)dxを求めよ。(kによる場合分けが必要) (5) 微分方程式 -f''+f'=2πδ(x) (-∞<x<∞)を満たす解f(x)を一つ、フーリエ変換を用いて求めよ。ただしデルタ関数δ(x)のフーリエ変換は1/2πとなることを既知として用いて良い。 以上の2問です。本当に困っています(;_;) 途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。 これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。 http://book.geocities.jp/yukarin6127/f_henkan.htm よろしくお願い致しますm(_)m
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ変換について
フーリエ変換の関係が成り立っているとき、 f(x)=int d^3k F(k) exp[-ik.x] xとkの関係はどうなっているのですか?(x, kは3次元(何次元でもいいですが)ベクトル) 直交しているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題
f(x)のフーリエ変換F(x)は F(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。 a>0として、 f(x)={0 (x>0 ) {-exp(ax) (x<=0) という問題があります。 私は F(x)=(iω-a)^(-1)[exp(a-iω)x](-∞→0)までやりました。 ここで、ちょっとわからないところがあります。 exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。 でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。 普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて... 問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。 ご指導お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題(複素フーリエ級数)
フーリエ変換の問題(複素フーリエ級数) 次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を f(X+2nL)=f(x)により -∞<x<∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L) ここで教えていただいたのですが、 恥ずかしながらあまり理解できなかったため、再度質問します 複素フーリエ係数が cn==∫【-L→L】f(x)*exp(-i n x)/2πdx この公式より cn=∫【-L→0】0*exp(-i n x)/2πdx +∫【0→L】1* exp(-i n x)dx コレであっていますか? なんだか単純なような・・・ 回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換について
フーリエ変換表などと載ってる「f(ax)→F(ν/a)/|a|」 を証明したいのですが、どうしても解けません。 f(x)の変換後をF(ν)、変換をZとして Z=∫f(ax)・exp(-2πiux)dx にy=ax、x=y/aとして代入して解いているのですが そもそもこのやり方が間違っているのか、 計算途中でミスしているのか、わかりません。 教えてください、お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 分野によって少し形の違う道具を使うといった感じですね。物理をやっていながら、F(k)とf(x)の名前は始めて聞きました…