フーリエ変換の問題です。
実関数f(x)に関するフーリエ変換F(k)と、そのフーリエ逆変換をそれぞれ
F(k) = ∫[-∞～∞] f(x)e^(-ikx) dx
f (x) = (1/2π)∫[-∞～∞] F(k)e^(ikx) dk
と定義したとき、f(x)が
f(x) = 1 (|x| < a)
f(x) = 1/2 (|x| = a)
f(x) = 0 (|x| > a)
(※aは正の定数)
と与えられた時
問1.-4 ≦ k ≦ 4の範囲でグラフを描きF(0)の値とF(k)=0となるkの値を図に記せ。
問2.前問の結果とフーリエ逆変換を用いて積分
∫[-∞～∞] {sin(ka)cos(kx)/k} dk
の値を求めよ。
問3前問の結果より、積分
∫[0～∞] {(sinx)/x} dx
の値を求めよ。
という問題なのですが、問1については積分範囲[-4～4]として、
さらにf(x)は偶関数とみなせるので実数部cos(kx)のみを積分して(2/k)sin(4k)、
これよりグラフはy軸を対称とした減衰sinのグラフとなり、
±0に近づくにつれ値は正に発散(但しF(0)=0に収束)するグラフを得ました。
さらに-4≦k≦4からk = ±(0,π/4,π/2,3π/4,π,5π/4)を
0をとる点としてグラフを描いたのですが
模範解答が無いため、いまいち確証が持てません。
また、問2以降の解法が分からず困っています。
お手数ですが、問1の導出が正しいかということと、
問2以降の解法について教えて頂けないでしょうか。
宜しくお願い致します。
