合成積の式にフーリエ変換の関数を代入可能ですか？

質問

(f*g)(t) = ∫[-∞,∞] f(s) g(t-s) ds
のf(s)とg(t-s)の部分にフーリエ変換の関数F(s)とG(k-s)を代入できますか？

定義を二つ書きます：

・フーリエ変換の式
F(k) = ∫[∞,-∞] f(t) exp^(-ikt) dt (式5.26)
関数F(k)は非周期関数f(t)のフーリエ変換と呼ばれ、(式5.26)はフーリエ変換を計算する式である。

・合成積
区分的に滑らかで絶対可積分である2つの関数f(t), g(t)が与えられたとき、f(t)とg(t)の合成積（または、たたみこみ）を
(f＊g)(t) = ∫[∞,-∞] f(s) g(t-s) ds (式6.28)
によって定義する。この式の左辺では、f＊gが1つの関数の名前であることをはっきり示すために括弧で括ってあり、合成積はtの関数なので(t)と書いてある。

・・・上記二つの式を踏まえて、
(F＊G)(t) = ∫[∞,-∞] F(s) G(k-s) ds (式6.28)'
と代入できますか？

回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

20) ∫ [-∞,∞] e^(i(w1-w2)s) ds
20.1) ∫ [-∞,∞] e^(i(w1-w2)s) ds =0 (w1≠w2)
20.1.1)フーリエ変換・逆変換できる。
20.1.2)異周波の無限積分は0
20.2) ∫ [-∞,∞] 1 ds =∞ (w1=w2)

20.3) ∫ [-∞,∞] δ(x) e^(-iwx) dx ( δ(x)のフーリエ変換:(21)で h(x) =e^(-iwx) )
20.4)δ(i(w1-w2))

21)δ(x) h(x)の積分
21.1) ∫ [-∞,∞] δ(x) h(x) dx

21.2.1)h1(x) =1/(2Δt) (-Δt <=x <=Δt)
21.2.2) =0 (その他) とする。

21.3) ∫ [-∞,∞] δ(x) h(x) dx = ∫ [-∞,∞] ( lim(Δt -> 0) h1(x) ) h(x) dx
=lim(Δt -> 0) ∫ [-∞,∞] h1(x) h(x) dx
=lim(Δt -> 0) ∫ [-Δt,Δt] 1/(2Δt) h(x) dx
=lim(Δt -> 0) 1/(2Δt) ∫ [-Δt,Δt] h(x) dx
=lim(Δt -> 0) ( H(Δt) -H(-Δt) ) /(2Δt)
=h(0)

22) ∫ [-∞,∞] F(w1) G(w2) e^(i w2 t) δ(i(w1-w2)) dw1
= G(w2) e^(i w2 t) ∫ [-∞,∞] F(w1) δ(i(w1-w2)) dw1
= G(w2) e^(i w2 t) F(w2)

30)Others( d/dt ∫ [0,t] w(t-u) f(u) du )

お礼

理解できました。
しかもお陰様で別件のパワースペクトルの問題（回答付かずに削除済み）の方も解くことができました。
1.1)f(s) = ∫ [-∞,∞] F(w1) e^(i w1 s) dw1
1.2)g(t-s) = ∫ [-∞,∞] G(w2) e^(i w2 (t-s)) dw2
が大きなヒントでした。
ありがとうございました！

回答No.1

kiyos06

0)fg(t) = ∫ [-∞,∞] f(s) g(t-s) ds

1.1)f(s) = ∫ [-∞,∞] F(w1) e^(i w1 s) dw1
1.2)g(t-s) = ∫ [-∞,∞] G(w2) e^(i w2 (t-s)) dw2とする。

2)fg(t) = ∫ [-∞,∞] ∫ [-∞,∞] F(w1) e^(i w1 s) dw1 ∫ [-∞,∞] G(w2) e^(i w2 (t-s)) dw2 ds

3)fg(t) = ∫ [-∞,∞] ∫ [-∞,∞] ∫ [-∞,∞] F(w1) e^(i w1 s) G(w2) e^(i w2 (t-s)) ds dw1 dw2
4)fg(t) = ∫ [-∞,∞] ∫ [-∞,∞] F(w1) G(w2) e^(i w2 t) ∫ [-∞,∞] e^(i(w1-w2)s) ds dw1 dw2
4)fg(t) = ∫ [-∞,∞] ∫ [-∞,∞] F(w1) G(w2) e^(i w2 t) δ(i(w1-w2)) dw1 dw2
5)fg(t) = ∫ [-∞,∞] F(w2) G(w2) e^(i w2 t) dw2

6)FG(w) =F(w) G(w)

10)Others(難しい微分方程式解法集)

お礼

ご回答、ありがとうございます。返事が遅くなってすみません。
その回答について質問があります。
∫ [-∞,∞] e^(i(w1-w2)s) ds
↓
δ(i(w1-w2))
↓
1
…の部分を詳しく教えて下さい。

自分で計算しようとすると：
∫ [-∞,∞] e^{i(w1-w2)s} ds
= 1/{i(w1-w2)} * [e^{i(w1-w2)s}] | s=[-∞,∞]
= 1/{i(w1-w2)} * [e^{i(w1-w2)(∞)} - e^{i(w1-w2)(-∞)}]
= 1/{i(w1-w2)} * [Undefined - Undefined]
になります。

δ(i(w1-w2))
↓
1
はきっと「w1=w2で同じ値だったら1」になるような式だと思いますが、詳しく知りたいです。

あと訂正ですが、
(F＊G)(t) = ∫[∞,-∞] F(s) G(k-s) ds (式6.28)'
は正しくは(t)ではなく(k)で
(F＊G)(k) = ∫[∞,-∞] F(s) G(k-s) ds (式6.28)'
でした。
では、よろしくお願いします。