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ラプラス変換の合成積について
- ラプラス変換の合成積についての質問です。
- 合成積の可換法則について説明し、矩形関数の場合に関数の変数の置き換え方法についての疑問を述べています。
- 質問者のやり方が違うのかどうかについて確認したいと思っています。
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#1です。 補足質問の回答です。 ＞教科書通りだと、 ＞y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t) ＞y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1) ＞のようになっています。 これで合っています。 ラプラス変換の畳込みは一般的には以下が成り立ちます。 y(t) =∫[0->t]f(τ)g(t-τ)dτ■ =∫[0->t]f(t-τ)g(τ)dτ▲ ■の式でf(τ)=r(τ)とした場合が教科書の場合です。 次の質問の場合がは▲の式でg(τ)=sin 2(τ)とした場合ですね。 ＞しかし、たたみ込みでは ＞y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t) これは正しいです。 ＞y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1) この積分範囲が正しくありません。 正しい範囲は(積分範囲t-1→t)です。 ＞と、できてもいいのでは、と思ったのです。 ＞私のやり方が違うのでしょうか？どうでしょうか？ 積分範囲が間違っています。上のように積分範囲を訂正すれば正しい結果がでますね。 畳込みのr(τ-t)の存在範囲が (t-1→t)であることに注意して被積分関数のr(τ-t)とsin2(τ)の図を描いてみれば理解しやすいかと思います。
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- rabbit_cat
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積分範囲の計算が間違っていると思います。 g(t) = H(t-a) - H(t-b) としてみると、（[a, b]の矩形関数） f(t)*g(t) = ∫f(t-τ)g(τ)dτ = ∫_[a→b] f(t-τ)dτ = ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ f(t)*g(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ = ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ で当然ならが、同じ結果になります。
- oyaoya65
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＞t-τの場合はtが残り、τの場合はｔが残らないと思うのです。 ＞これでは結果が変わってしまうのではと，思いました。 ＞私のやり方が違うのでしょうか？どうでしょうか？ 式が書いてないので確認できません葉、最終的には積分変数はなくなり多分間違っているのでしょう。 単一矩形波の場合 f(t)=A{u(t)-u(t-b)} ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,u(t)は単位ステップ関数 連続矩形波の場合 f(t)=AΣ(n=0→∞)A{u(t-nT)-u(t-b-nT)} ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,Tは矩形波の周期,u(t)は単位ステップ関数 のようにおいて計算しましたか？ 参考URL たたみ込み積分 http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-3-2tatamikomi.htm
補足
例として、２階の微分方程式… y"+4y=r(t) , r(t)=1 (0<t<1) , r(t)=0 (1<t) y(0)=0 , y'(0)=0 このときにラプラス変換から、たたみ込みで解くとします。 ｙ(t)のラプラス変換をY(s)、r(t)の変換をR(s)とすると、 Y = R/(s^2+4) となるので、r(t)とsin2tのたたみ込みになると思います。(係数は無視して) また、 r(t)=u(t)-u(t-1) で積分することになります。 教科書通りだと、 y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t) y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1) のようになっています。 しかし、たたみ込みでは y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t) y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1) と、できてもいいのでは、と思ったのです。 ちなみにu(t-1)の積分が良くわかりません… もっと良いやり方があるような…
お礼
なるほど。 rが変数tを持つ関数でなかったために、積分範囲についても■式のように考えてしまいました。 どうもありがとうございます。