ラプラス変換の合成積について

質問

ラプラス変換の合成積（たたみ込み）についての質問です。
今回の質問では合成積の可換法則についてで、
　　f＊g=g＊f　　です。
ここで、ｇを矩形関数の場合を考えています。
合成積を計算する場合に関数をt-τかτに置き換えて積分するのですが，
矩形関数では関数の変数がないので、積分の際にｆの変数の置き換えにt-τかτを選べると思います。
ただ単にg=1などならfの変数をt-τにしてもｔにしても同じ結果になりました。
このとき、矩形関数だと積分範囲がある値からある値まで決まってしまい，
t-τの場合はtが残り、τの場合はｔが残らないと思うのです。
これでは結果が変わってしまうのではと，思いました。
私のやり方が違うのでしょうか？どうでしょうか？

あまり詳細に書けず、すみません。

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。

補足質問の回答です。
＞教科書通りだと、
＞y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
＞y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
＞のようになっています。

これで合っています。
ラプラス変換の畳込みは一般的には以下が成り立ちます。
y(t)
=∫[0->t]f(τ)g(t-τ)dτ■
=∫[0->t]f(t-τ)g(τ)dτ▲
■の式でf(τ)=r(τ)とした場合が教科書の場合です。

次の質問の場合がは▲の式でg(τ)=sin 2(τ)とした場合ですね。
＞しかし、たたみ込みでは
＞y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
これは正しいです。

＞y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
この積分範囲が正しくありません。
正しい範囲は(積分範囲t-1→t)です。

＞と、できてもいいのでは、と思ったのです。
＞私のやり方が違うのでしょうか？どうでしょうか？

積分範囲が間違っています。上のように積分範囲を訂正すれば正しい結果がでますね。

畳込みのr(τ-t)の存在範囲が
(t-1→t)であることに注意して被積分関数のr(τ-t)とsin2(τ)の図を描いてみれば理解しやすいかと思います。

お礼

なるほど。
rが変数tを持つ関数でなかったために、積分範囲についても■式のように考えてしまいました。
どうもありがとうございます。

回答No.2

rabbit_cat

積分範囲の計算が間違っていると思います。

g(t) = H(t-a) - H(t-b)
としてみると、（[a, b]の矩形関数）
f(t)*g(t) = ∫f(t-τ)g(τ)dτ
　　　　　= ∫_[a→b] f(t-τ)dτ
　　　　　= ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ

f(t)*g(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ
　　　　　= ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ
で当然ならが、同じ結果になります。

回答No.1

oyaoya65

＞t-τの場合はtが残り、τの場合はｔが残らないと思うのです。
＞これでは結果が変わってしまうのではと，思いました。
＞私のやり方が違うのでしょうか？どうでしょうか？

式が書いてないので確認できません葉、最終的には積分変数はなくなり多分間違っているのでしょう。

単一矩形波の場合
f(t)=A{u(t)-u(t-b)}
ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,u(t)は単位ステップ関数

連続矩形波の場合
f(t)=AΣ(n=0→∞)A{u(t-nT)-u(t-b-nT)}
ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,Tは矩形波の周期,u(t)は単位ステップ関数

のようにおいて計算しましたか？

参考URL
たたみ込み積分
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-3-2tatamikomi.htm

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF

補足

例として、２階の微分方程式…

y"+4y=r(t) , r(t)=1 (0<t<1) , r(t)=0 (1<t)
y(0)=0 , y'(0)=0

このときにラプラス変換から、たたみ込みで解くとします。
ｙ(t)のラプラス変換をY(s)、r(t)の変換をR(s)とすると、

Y = R/(s^2+4)

となるので、r(t)とsin2tのたたみ込みになると思います。(係数は無視して)
また、　r(t)=u(t)-u(t-1)　で積分することになります。
教科書通りだと、
y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
のようになっています。
しかし、たたみ込みでは
y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
と、できてもいいのでは、と思ったのです。

ちなみにu(t-1)の積分が良くわかりません…
もっと良いやり方があるような…