ラプラス変換の質問です。

質問

ラプラス変換の質問です。
g(t)は[0,T]で定義された0でない関数とする。
g(t)を周期Tで繰り返すような[0,∞)で定義された関数をf(t)とする。
すなはち
f(t)=Σ[n=0～∞]g(t-nT) (n=0,1,2・・・)
このとき、関数f(t)のラプラス変換を求めよ。

わかる方がいましたら参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

f(t) = Σ[n=0~∞]{g(t-nT)}
という書き方は、暗にg(t)を[0,T]の外では常に0として書いた形ですよね。
つまり、Σなんてものを使って大層な書き方をしているけど。
nT≦t＜(n+1)Tのとき
　　f(t) = g(t-nT)
ということですよね。

それを踏まえて、
普通に定義式に当てはめて計算しましょう。
　　F(s) = ∫[0~∞]{f(t)*exp(-st)}dt
ここで、
　　F(s) = ∫[0~T]{f(t)*exp(-st)}dt +∫[T~2T]{f(t)*exp(-st)}dt +∫[2T~3T]{f(t)*exp(-st)}dt +...
と積分区間を分割して考えましょう。
先ほども書いたように、nT≦t＜(n+1)Tで、f(t)=g(t-nT)より
　　F(s) = ∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dt +∫[T~2T]{g(t-T)*exp(-st)}dt +∫[2T~3T]{g(t-2T)*exp(-st)}dt +...
　　　　 = Σ[n=0~∞]{∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt}

ここからは、Σの中身だけ、すなわち
　　∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt
だけ考えましょう。
t-nT=uと変数変換すると、
　　∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt = ∫[0~T]{g(u)*exp(-s(u+nT))}du = ∫[0~T]{g(u)*exp(-su)*exp(-snT)}du
いま、exp(-snT)はuと無関係な項だから積分の外に出て、
　　∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt = exp(-snT)*∫[0~T]{g(u)*exp(-su)}du
右辺のuをtに読み替えると、
　　∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt = exp(-snT)*∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dt

これを元の式に代入して
　　F(s) = Σ[n=0~∞]{∫[nT~(n+1)T]{g(t-nT)*exp(-st)}dt}
　　　　 = Σ[n=0~∞]{exp(-snT)*∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dt}
いま、∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dtはnと無関係な項だから級数の外に出て、
　　F(s) = ∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dt*Σ[n=0~∞]{exp(-snT)}

Σ[n=0~∞]{exp(-snT)}は、初項a=1,公比r=exp(-sT)の無限等比級数だから、公式より
　　Σ[n=0~∞]{exp(-snT)} = a/(1-r) = 1/(1-exp(-sT))
※ただし、|exp(-sT)|<1すなわちRe(-sT)<0の範囲でしか級数が収束しないので注意。

そのとき
　　F(s) = (1/(1-exp(-sT)))*∫[0~T]{g(t)*exp(-st)}dt
となる。

お礼

参考になりました。
ありがとうございました。