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有限群が自由加群でないことの証明
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質問者が選んだベストアンサー
>ta=0となるt≠0が存在することは分かるのですが、なぜそこから自由加群でないことが導けるのでしょうか？ 「導く」というよりは、「ta=0となるt≠0の存在」そのものが、Ｇが自由加群でないことを意味しています。 「自由加群」の定義にはいろいろな、流儀がありますが、eibuさんが習った定義はどんなものですか？その定義に照らし合わせて、考えてくださいね。
その他の回答 (3)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>t=|G|ということは常に|G|a=0が成り立つということだと思うのですが、 >これは必ずしも成り立たないのではないでしょうか？ 群論の参考書を開けば必ず出てくる基本的な定理です。 (証明) a ∈ G から生成される巡回群を H = <a> ⊆ G とすると、ラグランジュの定理から |H| は |G| を割り切る。よって |H|a = 0 より |G|a = 0
お礼
群論の理解不足でしたが、理解できました。 回答ありがとうございました。
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
教科書の誤植はよく見られることです。でも、ほとんどの場合、丁寧に読めば、どの箇所が誤植なのかは容易に見つけられますね。 「ta=0となる整数tが存在するから」→「ta=0となる整数t≠0が存在するから」 と、訂正すればよいでしょう。
補足
ta=0となるt≠0が存在することは分かるのですが、なぜそこから自由加群でないことが導けるのでしょうか？
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
t として G の位数 |G| を考えているのでしょう。
補足
t=|G|ということは常に|G|a=0が成り立つということだと思うのですが、これは必ずしも成り立たないのではないでしょうか？
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お礼
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