加群とテンソル積についての初歩的な質問です。

質問

加群とテンソル積についての初歩的な質問です。

M,NをR加群とする。次の性質を持つR加群Lを、MとNのR上のテンソル積といい、M*Nと書く。

(条件1)R-双線形写像Φ:M×N→Lが存在する。
(条件2)任意のR加群Uと任意のR-双線形写像F:M×N→Uに対し、R準同型写像fが一意的に存在して、F＝f・Φが成立する。

Φ(x,y)＝x*yと書くことにする。

ここからが質問内容です。

R＝Kを体とする。M,NをK上のベクトル空間とする。
u_1,・・・,u_nをMの基底、v_1,・・・,v_nをNの基底とする。
このとき、以下の2つの事が成り立つことが分かっています。

(1)M*Nの任意の元は、mn個の元u_i*v_j (1≦i≦n,1≦j≦m)の線形結合で書ける。
(2)dim(M*N)＝dimM×dimN＝mn

このとき一般論から、mn個の元u_i*v_jはM*Nの基底になりますよね？
だとしたら、このmn個の元が一次独立であると示せると思うのですが、これが示せません。

つまり・・・

Σ(c_ij)u_i*v_j＝0　(c_ij∈R)　⇒　c_ij＝0

を証明できません。でも基底なのだから証明できるはずですよね？

例えば、n＝2,m＝2等の簡単な場合ですら、示せない状況です。
示せる方がいたら、どうか教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

{u_i}と{v_j}の添え字の範囲にちょろっと混乱があるけど
Mの次元がm, Nの次元がnってことで進めましょう

これにはちょっとしたトリックがあるんです
以下のような写像Fを考えます
(1)
適当なmn次元のベクトル空間(K^{mn}でいい)Wをとって
その基底を{w_ij}(i=1,2,..,m, j=1,2,...n)とする
(2)
Mのベクトルaをa=Σa_i u_i，
Nのベクトルbをb=Σb_j v_j
と表したとき，写像F: M x N -> W
F(a,b) = Σa_ib_j w_ij
をとる
(3)
(2)のFは双線型であり，とくにF(u_i,v_j)=w_ij

さて，条件2（この条件を普遍性という）により
線型写像 f: M * N -> W で
F=fΦなるものが一意に定まるので
0 = f(Σ(c_ij)u_i*v_j)
= Σ(c_ij) f(u_i*v_j)
= Σ(c_ij) fΦ(u_i,v_j)
= Σ(c_ij) F(u_i,v_j)
= Σ(c_ij) w_ij
ここで
{w_ij}はWの基底だから・・・・終わり

こんな感じ．
テンソルに限らず，普遍性を使うときには，
どうやって写像をでっちあげるかが勝負です．

まあ・・・テンソルとか双対空間がでてくると，
ややこしくなるけど
線型代数もある意味クライマックスですので
がんばってください．

お礼

kabaokaba様、回答していただきありがとうございます。

なるほど！といった感じです。そのようにして証明できるのですね。

とても助かりました。