線形写像のノルムに関する関する問題です

質問

線形写像A∈L(R^n,R^m) (=R^nからR^mへの線形写像全体）
に対して||A||を||A||≡sup{||Ax|| : x , ||x||≦１｝で定めます。

||A||がm×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)の連続関数となることを示す問題です。
以前にいくつかのヒントをいただいて自力で頑張ってみたのですがいまだに理解できません。どなたか証明の仕方をお願いします。

必要な場合、以下の性質が使えます。

（i） ||A||＝sup{||Ax||＼||x|| : x≠0 ,x∈R^n}
＝sup{||Ax|| : x=1 ,x∈R^n}

(ii) A∈L(R^n,R^m), B∈L(R^m,R^l)　であるとき||BA||≦||B||||A||

(iii) A∈L(R^n,R^m),の標準基底に関する表現行列を(a_ij) (i↓1,・・・,m ; j→1,・・・,n)とするとき

　　maxΣa^2_ij≦||A||^2≦ΣΣa^2_ij (i=1,・・・,m ; j=1,・・・,n)

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

質問文に誤植と思われる箇所が沢山あります。

１さんはたぶん、「変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)」は(iii)の(a_ij)と同じですか？ていうのを遠まわしに言っていると思います。

それと、(i)はきっと

||A||＝sup{||Ax||／||x|| : x≠0 ,x∈R^n}
＝sup{||Ax|| : ||x||=1 ,x∈R^n}
（または＝sup{||Ax|| : ||x||≦1 ,x∈R^n}）

の書き間違いではないかと思います。

また、(iii)の下の式は何の書き間違いかちょっと分かりませんけど、左辺のほうが右辺より小さくないので間違っていると思います。というか、左辺はいらない。

x∈R^mに対して

||Ax||^2
=∑_i=1^n(∑_j=1^n(a_ij)(x_j))^2
≦∑_i=1^n(∑_j=1^n(a_ij)^2)(∑_j=1^n(x_j)^2)
=(∑_i,j=1^n(a_ij)^2)(∑_i,j=1^n(x_j)^2)

となるので||A||^2≦∑_i,j=1^n(a_ij)^2

これによりmn次元ユークリッド空間からL(R^n,R^m)への写像とみて連続であることがわかります。

１の補足に書いてある不等式を使いたいなら、l＾１ベースでノルムの評価をすることになりますが、ユークリッドノルムと同値であることが既知でないといけませんし、(iii)が不要になります。

補足

||A||^2≦∑_i,j=1^n(a_ij)^2

であると連続が言えるのはなぜでしょうか？

回答No.5

noname#152422

> 「連続」と「誘導位相」がイマイチです。

そうですか。

たぶん回答欄にどう書いても理解できないと思います。
微分積分の本か一般位相の本で多変数関数の連続性についてじっくり読み直してみてください。

お礼

分かりました。いろいろとありがとうございました。

回答No.4

noname#152422

> ||A||^2≦∑_i,j=1^n(a_ij)^2
>
> であると連続が言えるのはなぜでしょうか？

「連続」、「位相」、「ノルム」、「誘導位相」、「線形性」の中でどれかがわかってないみたいです。
どの用語があやふやですか？

補足

「連続」と「誘導位相」がイマイチです。

回答No.2

Tacosan

厳密には
||x||
の定義が必要かもしれんけど....

∥A-B∥≦max{|a_ij - b_ij|} は要するに
A = (a_ij) に対して ||A|| ≦ max |a_ij|
ということで, これは (||x|| の定義によるかもしれんが) 難しくないんじゃないかなぁと思う.

あとは多変数関数の連続性を考えるってことでしょう.

回答No.1

Tacosan

||A|| と「m×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)」との関係が示されていないので, 証明のしようがありません.

ということでいい?

「以前にいくつかのヒントをいただいて自力で頑張ってみたのですがいまだに理解できません」ということなら,
・どんなヒントを得られたのか
・どんなふうに頑張ったのか
・どこが (何が) 理解できないのか
を明示してもらえると無駄なこと書かなくていいかもしれないんだけどねぇ....

補足

∥A∥=f(a_11,...,a_nn) とおいてB=(b_ij) に対して
f(a_11,...,a_nn) - f(b_11,...,b_ij)を各|a_ij - b_ij|で評価するというヒントをいただきました。

そして以下の不等式にあてはめるらしいのですが、この不等式の右側の部分の大小関係が成り立つ理由が良く分かりません。
|∥A∥-∥B∥|≦∥A-B∥≦max{|a_ij - b_ij|}
またこの不等式が言えることでなぜ連続性が言えるのかもピンときません。