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写像の問題をお教え下さい。

いくら考えても全くわかりません。 お教えいただければ大変嬉しいです。お願いします。 問題 Aをm×n行列とし、行列とベクトルの積で与えられる線形写像A:R^n →R^m:x ↦ Axを考える。 以下の問いに答えよ。 (1) 写像Aが単射であるならば、n ≤ mであることを示せ。 (2) n ≤ mであって、写像Aが単射でない例をあげよ。 (3) 写像Aが単射であるならば、rankA = nであることが必要十分であることを示せ。 (4) 写像Aが全射であるならば、n ≥ mであることを示せ。 (5) n ≥ mであって、写像Aが全射でない例をあげよ。 (6) 写像Aが全射であるならば、rankA = mであることが必要十分であることを示せ。 (7) もしn = mならば、写像Aが全単射であることとAが正則であることが必要十分であることを示せ。

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  • 回答No.1
  • tanuki4u
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男性が m 人 女性が n 人 の合コンを考える (1) 女性が好みの男性を一人決めて、女性同士の好みがかぶることがなければ 男性の数は女性の数より多いことを示せ。 (2) 男性の数が女性の数より多くても、女性の好みがかぶる例をあげよ (3) 「女性が好みの男性を一人だけ指定して好みがかぶらない」ことが、「女性と男性のカップルはn組み作られる(ただし、男性に拒否権はない)」の必要十分であることを示せ (4) 女性が好みの男性を一人決めた時に、あぶれる男性がいない時、女性の数が男性の数より多いことを示せ (5) 女性の数のほうが多くても、あぶれる男性がいる例を示せ(モテモテの男性がいるということ) (6) 女性好みの男性を一人決めた時に、あぶれる男性がいない時、出来上がるカップル数は m組みであることを示せ ただし 女女男 という カップルもOKである。 (7) もし男女の数が同数ならば、 あ)女性が好みの男性をかぶることなく指定し(単射)、あぶれる男性がいない(全射) ということと い)どの男性かがわかると、カップルになっている女性が誰かがわかる(正則)  あ)とい)は同じ事を行っていることを示せ というようの考えるとわかりやすくなる? かえって わかりづらいか?

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