写像の問題をお教え下さい。

質問

いくら考えても全くわかりません。
お教えいただければ大変嬉しいです。お願いします。

問題

Ａをm×n行列とし、行列とベクトルの積で与えられる線形写像A:R＾n →R＾m：x ↦ Axを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 写像Aが単射であるならば、n ≤ mであることを示せ。

(2) n ≤ mであって、写像Ａが単射でない例をあげよ。

(3) 写像Aが単射であるならば、rankA = nであることが必要十分であることを示せ。

(4) 写像Aが全射であるならば、n ≥ ｍであることを示せ。

(5) n ≥ mであって、写像Aが全射でない例をあげよ。

(6) 写像Aが全射であるならば、rankA = mであることが必要十分であることを示せ。

(7) もしn = mならば、写像Aが全単射であることとAが正則であることが必要十分であることを示せ。

回答No.1

tanuki4u

男性が　ｍ　人
女性が　ｎ　人　の合コンを考える

（１）　女性が好みの男性を一人決めて、女性同士の好みがかぶることがなければ　男性の数は女性の数より多いことを示せ。

（２）　男性の数が女性の数より多くても、女性の好みがかぶる例をあげよ

（３）　「女性が好みの男性を一人だけ指定して好みがかぶらない」ことが、「女性と男性のカップルはｎ組み作られる（ただし、男性に拒否権はない）」の必要十分であることを示せ

（４）　女性が好みの男性を一人決めた時に、あぶれる男性がいない時、女性の数が男性の数より多いことを示せ

（５）　女性の数のほうが多くても、あぶれる男性がいる例を示せ（モテモテの男性がいるということ）

（６）　女性好みの男性を一人決めた時に、あぶれる男性がいない時、出来上がるカップル数は　ｍ組みであることを示せ　ただし　女女男　という　カップルもOKである。

（７）　もし男女の数が同数ならば、
あ）女性が好みの男性をかぶることなく指定し（単射）、あぶれる男性がいない（全射）
ということと
い）どの男性かがわかると、カップルになっている女性が誰かがわかる（正則）
　あ）とい）は同じ事を行っていることを示せ

というようの考えるとわかりやすくなる？
かえって　わかりづらいか？