何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

質問

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

回答No.3

gef00675 · ベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、（回答＃２より）
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
＞[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数（＝成分）の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

お礼

どうもありがとうございました。
漸く納得できました。

回答No.2

gef00675

線形写像と、それを特定の基底で表現した行列は、異なる概念なので、用語を使い分けましょう。数学に限らず、用語を正しく使ってくれないと、話が通じにくいですよね。

Vの２つの基底(v1,...,vn)から(v'1,...,v'n)への基底変換の行列[Φ]とは、通常
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]
のようになるものを指します。つまり、各基底ベクトルが
　v'j=[Φ1j]*v1+…+[Φnj]*vn=Σ(i)[Φij]*vi (j=1,2,...,n)
と表される、そういう行列です。このとき、Vの元xを２通りに表してみると、
x=x1*v1+...+xn*vn=x'1*v'1+...+x'n*v'n
=Σ(ij)x'j*[Φij]*vi
よって、xi=Σ(ij)*[Φij]*x'j
行列で表すと、
[x]=[Φ][x']
です。この関係を、先の
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]
と見比べてごらんなさい。ちょうど、逆の関係になっているでしょう。この辺が勘違いの原因だと思います。

お礼

どうも有り難うございます。

> 線形写像と、それを特定の基底で表現した行列は、異なる概念なので、用語を使い分
> けましょう。数学に限らず、用語を正しく使ってくれないと、話が通じにくいですよ
> ね。

すいません。

> Vの２つの基底(v1,...,vn)から(v'1,...,v'n)への基底変換の行列[Φ]とは、通常
> (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]
> のようになるものを指します。つまり、各基底ベクトルが
> 　v'j=[Φ1j]*v1+…+[Φnj]*vn=Σ(i)[Φij]*vi (j=1,2,...,n)
> と表される、そういう行列です。

つまり,
(v'_1,v'_2,…,v_'n)=

(v_1,v_2,…,v_n)
・
(Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n)
(Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)
：
(Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn)

なので(v'_1,v'_2,…,v_'n)から(v_1,v_2,…,v_n)への基底変換行列は
(v'_1,v'_2,…,v_'n)[Φ^-1]=(v_1,v_2,…,v_n)となるのですね。

> このとき、Vの元xを２通りに表してみると、
> x=x1*v1+...+xn*vn=x'1*v'1+...+x'n*v'n

x=(v'_1,v'_2,…,v'_n)・t^(x'_1,x'_2,…,x'_n)=
(v_1,v_2,…,v_n)
・
(Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n)
(Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(x'_1,x'_2,…,x'_n)
：
(Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn)

=(x'_1,x'_2,…,x'_n)
・
(Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n)
(Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(v_1,v_2,…,v_n)
：
(Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn)

となるのでしょうか?

> =Σ(ij)x'j*[Φij]*vi
> よって、xi=Σ(ij)*[Φij]*x'j

これは
(x'_1,x'_2,…,x'_n)
・
(Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n)
(Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(v_1,v_2,…,v_n)
：
(Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn)
という意味でよろしいでしょうか?

> 行列で表すと、
> [x]=[Φ][x']
> です。この関係を、先の
> (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]
> と見比べてごらんなさい。ちょうど、逆の関係になっているでしょう。この辺が勘違
> いの原因だと思います。

すいません。いまいちよく分かりません。
http://www.ed.kanazawa-u.ac.jp/~nick/lecture/distribution/rep_matrix.pdf
の定理2.2だと私が言ってる通りで納得できるのですが…。

回答No.1

koko_u_

>fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。

線型写像に基底は関係ありません。

>gの表現行列を[g]と表す事にすれば

行列表現をするときに基底を考える必要があります。

お礼

どうもありがとうございました。
漸く納得できました。