基底の変換行列

質問

基底の変換行列
空間V（dim V=n）の2種類の正規直交基底{a_i}，{b_i}(i=1,…,n)があるとき，この2種類の基底はユニタリ行列で結ばれていると思いますが，これはユニタリ行列をU，そのij成分をu_{ij}とするとき，
(1) a_i=Σ_[j=1]^[n] u_{ij} b_j
と書いても，
(2) a_i=U b_i (i=1,…,n)
と書いても同じことですか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

同じではない。

ベクトル a_i の第 k 成分を a_{ki} と書いて
列ベクトルを並べた行列 A にすると、

(1) は A = B (Uの転置)
(2) は A = U B
であって、それぞれの U は異なる。

A, B がユニタリ行列であることを踏まえて変形すると、
(1) の U = (Aの転置) (Bの共役)
(2) の U = A (Bの転置共役)
となり、どちらもユニタリ行列ではあるが。

お礼

回答ありがとうございます．たしかに違っていることが分かりました．

追加で質問なのですが，
正規直交基底を列ベクトルに持つ行列Aがあったとき，Aはユニタリ行列だと思いますが，(A')A=Eは簡単に示せるのですが，A(A')=Eはどのように示せばいいのでしょうか？（'は転置共役）
お時間があればお願いします．

回答No.2

alice_44

あれ、別の質問？

転置共役を ' で表すのはキモチワルイので、A^* と書いとく。

(A^*)A = E が簡単なのであれば、A^* = A^-1 は言えるのだから、
逆行列について一般に (A^-1)A = A(A^-1) = E であることより、
(A^*)A = A(A^*) = E。

逆行列がもとの行列と可換であることは、
A の特性多項式の定数項が det A であることにより、
det A ≠ 0 の条件下に、特性多項式を
P(A)・A = A・P(A) = E ただし P は多項式
と変形できることから示せる。

お礼

(A^*)A=EがわかるとA(A^*)=Eもわかるのですね．
どうもありがとうございます．