正規変換に関する質問です

質問

２次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,Ｗ_2が存在する。
(1)Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変
(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂Ｗ_2＝Ｖ
(3)dim(Ｗ_1)＝１　dim(Ｗ_2)＝２

このとき・・・

Ｗ_1は(計量空間)Ｗ_2の部分空間であるからＷ_1^⊥をＷ_1の直交補空間とすると
Ｗ_2＝Ｗ_1◎Ｗ_1^⊥(直和)となる・・・(※)
Ｗ_2の任意の元をu[2]とすると、u[1]∈Ｗ_1 u[1']∈Ｗ_1^⊥を用いて
u[2]=u[1]+u[1']と一意的に表せる。
このとき
Ｔ(u[1'])=T(u[2])-T(u[1])
今、Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変であるから
T(u[2])∈Ｗ_2 T(u[1])∈Ｗ_1となる。ここで再び(※)より
T(u[2])-T(u[1])＝αu[1']と一意的に表せる(αは定数)
つまりＴ(u[1'])=αu[1']⊂Ｗ_1^⊥
とできたわけだが、u[1']は任意にとれるので
これは結局、Ｔ(Ｗ_1^⊥)⊂Ｗ_1^⊥
つまりＷ_1^⊥がＴ-不変であるということである。

さて・・・

Ｗ_1の元のうち、ノルムが１となるものx[1]をとる。
さらに、Ｗ_2の元でＷ_1の任意の元と直交するもの全体
つまりＷ_1^⊥の元のうち、ノルムが１となるものx[2]をとる。

すると<x[1],x[2]>はＷ_2(Ｖ)の正規直交基底である。
また、Ｗ_1とＷ_1^⊥はともにＴ-不変であるから
今、Ｗ_1とＷ_1^⊥の次元がともに１であることを考慮して
Ｔ(x[1])=αx[1] Ｔ[x[2]]=βx[2]なる数αβが存在するといえる。
よって、x[1]x[2]はＴの固有ベクトルであるともいえる。

私は、一般にｎ次元のユニタリ空間Ｖの正規変換Ｔの固有ベクトルのみからなるＶの正規直交基底がいつでもとれることを示そうと思い、まず一番簡単なｎ＝2の場合について、上記のように考えたのですが、あっているでしょうか？

私は、一般のｎ次元ユニタリ空間の場合にも下記の定理
[定理]
ｎ次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,・・・Ｗ_nが存在する。
(1)Ｗ_iはともにＴ-不変(i=1,2,・・・n)
(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂・・・Ｗ_n-1⊂Ｗ_n＝Ｖ
(3)dim(Ｗ_i)=dim(Ｗ_i-1)+1 (i=1,2,・・・n)

を使って同じような操作を続けて、最終的にはｎ個の固有ベクトルからなるＶの正規直交基底が得られるんだと思っているのですが・・。

どなたか添削よろしくお願いいたししますm(_ _)m

回答No.1

de_Raemon · ベストアンサー

Ｔが正規変換であることを利用すると、より簡単に証明できそうな気がします。

Ｗ_1のノルムが１の元をx[1]、Ｗ_1^⊥のノルムが１の元をx[2]とすると内積

(x[1],x[2])＝0　(1)

今Ｗ_1がＴ-不変なので

Ｔ(x[1])=αx[1]　(2)

と書ける。x[1]とＴ(x[2])との内積を考えると

(x[1],Ｔ(x[2]))＝(Ｔ^*(x[1]),x[2])　(3)

ここで正規変換ＴがエルミートならばＴ^*＝Ｔなので(1)(2)より(3)は

(x[1],Ｔ(x[2]))＝(Ｔ^*(x[1]),x[2])＝(Ｔ(x[1]),x[2])＝(αx[1],x[2])＝0　(4)

また正規変換ＴがユニタリならばＴ^*＝Ｔ^(-1)なので(1)(2)より(3)は

(x[1],Ｔ(x[2]))＝(Ｔ^*(x[1]),x[2])＝(Ｔ^(-1)(x[1]),x[2])＝((1/α)x[1],x[2])＝0　(5)

(4)(5)からＴ(x[2])はx[1]と直交するので

Ｔ(x[2])∈Ｗ_1^⊥　→　Ｔ(Ｗ_1^⊥)⊂Ｗ_1^⊥　(6)

(6)はＷ_1^⊥がＴ-不変であることに他ならないので

Ｔ(x[2])＝βx[2]　(7)

と書ける。(2)(7)からx[1]とx[2]が固有ベクトル、αとβが固有値である。

・・・証明は以上です。
が、前提条件のＴ-不変かつdim(Ｗ_1)＝１を満たす部分空間
Ｗ_1の存在は自明じゃないように思えます。

またｎ次元への一般化ですが、縮退がある場合とか考えるとすんなりとはゆかない気が・・・

補足

回答ありがとうございます！
回答文にある証明のほうが
私のようにゴチャゴチャ書いてなくてスッキリしてる
印象を受けました！参考にさせていただきます。

＞前提条件のＴ-不変かつdim(Ｗ_1)＝１を満たす部分空間
　Ｗ_1の存在は自明じゃないように思えます。

前提条件とは
２次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,Ｗ_2が存在する。
(1)Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変
(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂Ｗ_2＝Ｖ
(3)dim(Ｗ_1)＝１　dim(Ｗ_2)＝２
のことですよね！？
一応これがｎ次元で成り立つことの証明はしてありますから、このようなＷ_1はあるといえます。(長くなるので証明は書いていません。すいません。)

＞またｎ次元への一般化ですが、縮退がある場合とか考えるとすんなりとはゆかない気が・・

難しいですかね～・・・(汗

まずＷ_1からノルム１の元x[1]をとり。
次にＷ_1^⊥⊂Ｗ_2の元からノルム１の元x[2]をとる。
次にＷ_2^⊥⊂Ｗ_3の元からノルム１の元x[3]をとる。
・
・
・
次にＷ_n-2^⊥⊂Ｗ_n-1の元からノルム１の元x[n-1]をとる。
最後にＷ_n-1^⊥⊂Ｗ_nの元からノルム１の元x[n]をとる。

するとx[i]の決め方から、
<x[1],x[2],・・・x[n]>はＷ_n=Ｖの正規直交基底であり
これらはすべて固有ベクトル・・。

とできませんかねぇ・・・・。

回答No.2

gef00675

Tの固有ベクトルからなるＶの正規直交基底が存在することの証明は、次の順序で示すことができるということはご存知のことと思います。
(1)複素ベクトル空間におけるTの固有値の存在。（代数方程式が複素数解をもつ）
(2)正規変換Tの定義：T・T* = T*・T
(3)λがTの固有値ならば、λの共役複素数はT*の固有値である。
(4)正規変換Tの異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。
(5)正規変換Tの固有空間Fの直交補空間F^⊥はT-不変である。
(6)正規変換Tの固有空間をF1,...,Frとすると、Vはそれらの直交直和に分解できる。
したがって、F1,...,Frのそれぞれの正規直交基底をとってきて、全部集めればＶの正規直交基底が作れることになります。（ただし、（6)をいうには、Vの次元が有限であることが前提にあります）

さて、いま、ご質問の中の[定理]
　ｎ次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
　このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,・・・Ｗ_nが存在する。
　(1)Ｗ_iはともにＴ-不変(i=1,2,・・・n)
　(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂・・・⊂Ｗ_n-1⊂Ｗ_n＝Ｖ
　(3)dim(Ｗ_i)=dim(Ｗ_i-1)+1 (i=1,2,・・・n)
を認めるとするなら、あなたがしたように、直和W_i＋F_i=W_(i+1), (i=1,2,...,n)になるような部分空間F_iを作ることができて、しかもF_jはT-不変でかつ1次元なので、F_iの元は固有ベクトルになっています。あとは、F_iが互いに直交するということ（質問文の※の式）をいえばよいだけでしょう。
ただ、せっかくT-不変な部分空間を作っておきながら、固有ベクトルを１個ずつ拾っていくというのは、少々まわりくどいような気がしないでもありません。その[定理]を証明する過程で、やるべきことがすべて終わっているように思えるのですが。

お礼

回答ありがとうございます。
もう一回証明を見直して出直します。
ありがとうございましたm(_ _)m