次の表現行列は(実)ユニタリである事を示せ

質問

VをR上の有限次元内積空間とする.

[問] Rを実数体とする。VをR上の有限次元内積空間とする。
B:={v_1,v_2,…,v_n}とB':={w_1,w_2,…,w_n}を夫々,Vの正規直交基底とする。
f:V→Vを線形写像とする時,
基底BとB'に関するfの表現行列をM_B_B'(f)で表す。
(1) id:V→Vを恒等写像とすると,M_B_B'(id)は実ユニタリ(直交行列(?))であることを示せ。
[ヒント:<w_i,w_i>=1,i≠jなら<w_i,w_j>=0.また表現w_i=Σa_ijv_j (a_ij∈R)]

(2) f:V→Vをf(v_i)=w_i (i=1,2,…,n)とすると,M_B_B'(f)はユニタリであることを示せ。

と言う問題です。

これらはどのようにして求めればいいのでしょうか?

(1)については
表現行列の定義から
x=Σa_iv_i (a_1,a_2,…,a_n∈R)とするとM_B_B'(id)(x)=M_B_B'(x) (∵恒等写像の定義)
=Σ[i=1..n]c_iw_i (但し,c_1,c_2,…,c_n∈R)
と書け、
ユニタリの定義から内積が保存される事,つまり
<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<x,y>を示せばいいのだと思います。

y=Σb_iv_i (b_1,b_2,…,b_n∈R)として,
M_B_B'(id)(y)=Σ[i=1..n]d_iw_i (但し, d_1,d_2,…,d_n∈R)
とすると

<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<Σ[i=1..n]c_iw_i,Σ[i=1..n]d_iw_i>
=Σ[i=1..n]<c_iw_i,d_iw_i> (∵直交の定義)
=Σ[i=1..n]c_id_i (∵正規の定義)

となり,<x,y>から遠ざかっております。
どのようにして証明すればいいのでしょうか?

(2)についてはユニタリの定義はノルムを保存する事
<M_B_B'(f)(x),M_B_B'(f)(x)>=<x,x>
を示す事だと思います。
M_B_B'(f)(x)=M_B_B'(f)(Σa_iv_i)=M_B_B'(f(Σa_iv_i)=Σ[i=1..n]a'_iw_i
M_B_B'(f)(y)=M_B_B'(f)(Σb_iv_i)=M_B_B'(f(Σb_iv_i)=Σ[i=1..n]b'_iw_i

となり,=<x,x>にたどり着けません。どうすればいいのでしょうか?

回答No.2

noname#161582 · ベストアンサー

表現行列 M_B_B'(f)は

f(w_i)=Σb_ijv_j (b_ij∈R) ・・・(イ)

の係数b_ij を(i,j)成分とする行列として定義されます。

ここで、ヒントに書いてあるように、基底{w_i}をもう一組の基底{v_i}で

w_i=Σa_ijv_j (a_ij∈R)・・・(ロ)

と展開します。(ロ)より

id(w_i)=w_i=Σa_ijv_j

なので、表現行列の定義(イ)と比較して、M_B_B'(id)は、
a_ij を成分とする行列であることがわかります。

それでヒントにあるように内積を考えると

<w_i,w_j>=<Σa_ikv_k,Σa_jlv_l>=Σa_ikΣa_jl<v_k,v_l>

=Σa_ikΣa_jlδ_kl=Σa_ika_jk=δ_ij ・・・(ハ)(δはクロネッカーのデルタ記号)

となって直交行列であることが示せます。
(今、a_ijが実数として議論しましたが、複素数の場合は内積をとる時に
どちらかを複素共役とすればユニタリ行列であることが示せます。)

(2)については問題が

f(w_i)=v_i

だったら定義(イ)から表現行列 M_B_B'(f)は単位行列なのでユニタリ
なのは明らかなんですが・・・実際は

f(v_i)=w_i ・・・(ニ)

なんですよね。この場合は、(ロ)(ニ)より

f(w_i)=Σa_ijf(v_j)=Σa_ijw_j=Σa_ija_jkv_k ・・・(ホ)

(イ)と(ホ)を比較して

b_ik=Σa_ija_jk ・・・(ヘ)

右辺で和を取っているjの位置に注意すれば、この式は表現行列 M_B_B'(f)が、
問(1)でユニタリ行列であることを示したM_B_B'(id) の２乗であることを示しています。

したがって表現行列 M_B_B'(f)もユニタリ行列です。

お礼

皆様,ご回答ありがとうございます。

(1),(2)とも
内積が保存される事
∀x,y∈V,<x,y>=<f(x),f(y)>
が示せ内積的にも実ユニタリになってる事はわかりました。
そして
Σ[k=1..n]a_kiΣ[l=1..n]a_li
=(a_ij)(a_ji)=δ_ij
となり,結果的にM_B_B'(id)t^M_B_B'(id)=I (Iは単位行列)
となり表現行列も実ユニタリ事はわかりました。

ノルムが保存される事
<x,x>=<f(x),f(x)>
は
<w_i,w_i>=<f(v_i),f(v_i)>(∵題意)
=<f(Σ[k=1..n]a_kiw_k),f(Σ[k=1..n]a_kiw_k)>=Σ[k=1..n]a_kiΣ[k=1..n]a_ki<f(w_i),f(w_i)>
=δ_ii<f(w_i),f(w_i)> (∵(1)) =<f(w_i),f(w_i)>
として示せましたが

> 右辺で和を取っているjの位置に注意すれば、この式は表現行列 M_B_B'(f)が、
> 問(1)でユニタリ行列であることを示したM_B_B'(id) の２乗であることを示しています。

題意のf(v_i)=w_iから
f(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n
f(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n
:
f(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n
で表現行列M_B_B'(f)は
1,0,0…,0
0,1,0…,0
:
0,0…,0,1

と求まるのではないでしょうか?

でもこれが実ユニタリではなくユニタリであることはどうやって言えばいいのでしょうか?

内積については実ユニタリ, ユニタリは内積保存,ノルム保存で定義されることは分かりましたが
表現行列については直交行列になっている事が実ユニタリの定義だとわかりましたが
表現行列でのユニタリはどのように定義されるのでしょうか?
(複素云々の話はこの問題では出てきてませんよね)
表現行列の実ユニタリとユニタリの違いは何?

回答No.1

Tacosan

たとえば (1) で
x = Σa_iv_i
と
M_B_B'(x) = Σc_iw_i
という式があるわけだけど, この式で a_i と c_i の関係が出てないと何ともならないんでは?
実際には内積とか線形変換とかの性質から x = v_i, y = v_j のときに
<M_B_B'(x), M_B_B'(y)> = <x, y>
を示せばいいはず.

お礼

皆様,ご回答ありがとうございます。

(1),(2)とも
内積が保存される事
∀x,y∈V,<x,y>=<f(x),f(y)>
が示せ内積的にも実ユニタリになってる事はわかりました。
そして
Σ[k=1..n]a_kiΣ[l=1..n]a_li
=(a_ij)(a_ji)=δ_ij
となり,結果的にM_B_B'(id)t^M_B_B'(id)=I (Iは単位行列)
となり表現行列も実ユニタリ事はわかりました。

ノルムが保存される事
<x,x>=<f(x),f(x)>
は
<w_i,w_i>=<f(v_i),f(v_i)>(∵題意)
=<f(Σ[k=1..n]a_kiw_k),f(Σ[k=1..n]a_kiw_k)>=Σ[k=1..n]a_kiΣ[k=1..n]a_ki<f(w_i),f(w_i)>
=δ_ii<f(w_i),f(w_i)> (∵(1)) =<f(w_i),f(w_i)>
として示せましたが

> 右辺で和を取っているjの位置に注意すれば、この式は表現行列 M_B_B'(f)が、
> 問(1)でユニタリ行列であることを示したM_B_B'(id) の２乗であることを示しています。

題意のf(v_i)=w_iから
f(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n
f(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n
:
f(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n
で表現行列M_B_B'(f)は
1,0,0…,0
0,1,0…,0
:
0,0…,0,1

と求まるのではないでしょうか?

でもこれが実ユニタリではなくユニタリであることはどうやって言えばいいのでしょうか?

内積については実ユニタリ, ユニタリは内積保存,ノルム保存で定義されることは分かりましたが
表現行列については直交行列になっている事が実ユニタリの定義だとわかりましたが
表現行列でのユニタリはどのように定義されるのでしょうか?
(複素云々の話はこの問題では出てきてませんよね)
表現行列の実ユニタリとユニタリの違いは何?