自己随伴写像の表現行列が共役転置になる命題が示せません

質問

宜しくお願い致します。

[命題] Vをn次元内積空間,f∈L(V):={f;線形写像f:V→V},β:={x_1,x_2,…,x_n}をVの正規直交基底
とする。
内積<f(x),y>=<x,g(y)>(∀x,y∈V)の時,f=g(即ち,gはfの自己随伴写像)ならば
(a_ij)=(a~_ji) ((a_ij)はfのβにおける表現行列,(a~_ji)は(a_ij)の共役転置) となる事を示せ。

という問題に難儀しています。

題意よりf(x_j)=Σ[i=1..n]a_ijx_iと書け、
内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

から先に進めません。この命題はどのようにして証明すればいいのでしょうか?

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

そこまで準備してあるのならば、どこにも難儀する部分はない
ように思いますが…

βの元 x_ i, x_ j について
< f(x_ i), x_ j > = < x_ i, f(x_ j) > の両辺を成分計算してみれば、
そのまま a_ ij = (a_ ji)~ という式になります。

お礼

> βの元 x_ i, x_ j について
> < f(x_ i), x_ j > = < x_ i, f(x_ j) > の両辺を成分計算してみれば、
> そのまま a_ ij = (a_ ji)~ という式になります。

有難うございます。
仮定より
<f(x_i),x_j>=<x_i,f(x_j)>と書ける。これより
<Σ[i=1..n]a_ijx_i,x_j>=<x_i,Σ[j=1..n]a_jix_j>
⇔
Σ[i=1..n]a_ij<x_i,x_j>=(Σ[j=1..n]a_ji)~<x_i,x_j>
⇔
Σ[i=1..n]a_ij<x_i,x_j>=Σ[j=1..n]a_ji~<x_i,x_j>
⇔
(Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji~)<x_i,x_j>=0
⇔
(Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji)δ_ij=0(∵{x_1,x_2,…,x_n}は正規直交基底)
今,iとjは任意なので
Σ[i=1..n]a_ij-Σ[j=1..n]a_ji=0
⇔
Σ[i=1..n]a_ij=Σ[j=1..n]a_ji
⇔
(a_ij)(e_1 e_2 … e_n)=(a_ji~)(e_1 e_2 … e_n)
(tは転置行列, e_1,e_2,…,e_nは単位ベクトル)
⇔
E_n(a_ij)=(a_ji~)E_n (E_nは単位行列)
⇔
(a_ij)=(a_ji~)

でいいのですね。