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線形写像と行列についての質問です
線形空間 K3 から線形空間 K3 への線形写像 T が(x,y,z) =(z,x,y)とし、K³ の基底を【(1,－1,0),(0,1,－1) ,(1,1,1)】とすると、この基底に関する線型写像 T の行列を求めよ。 この問題が分かりません…
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線形空間 K^3 から線形空間 K^3 への線形写像 T が T(x,y,z)=(z,x,y)とし、 K^3 の基底を【(1,－1,0),(0,1,－1) ,(1,1,1)】とすると、 0*x+0*y+1*z=z 1*x+0*y+0*z=x 0*x+1*y+0*z=y だから (0,0,1)(x)=(z) (1,0,0)(y)=(x) (0,1,0)(z)=(y) だから A= (0,0,1) (1,0,0) (0,1,0) とすると Aは標準基底に関するTの行列となる E_1=(1,-1,0) E_2=(0,1,-1) E_3=(1,1,1) この基底に関する座標を X=(X1;X2;X3) として 標準座標に変換する行列を B=(E_1;E_2;E_3) として,Tによる変換後のこの基底に関する座標を X'=(X1';X2';X3') とすると BX'=ABX ↓両辺に左からB^{-1}をかけると X'=B^{-1}ABX だから B^{-1} = (1,-1,0)^{-1} (0,1,-1) (1,1.,1.) = (1/3)* (2,1,1) (-1,1,1) (-1,-2,1) だから 基底Bに関する線型写像 T の行列は B^{-1}AB = (1,2/3,1/3) (0,-1/3,-2/3) (-1,2/3,-2/3)
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