線形写像と行列についての質問です

質問

線形空間 K3 から線形空間 K3 への線形写像 T が(x,y,z) =(z,x,y)とし、K³ の基底を【(1,－1,0),(0,1,－1) ,(1,1,1)】とすると、この基底に関する線型写像 T の行列を求めよ。
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

線形空間 K^3 から線形空間 K^3 への線形写像 T が
T(x,y,z)=(z,x,y)とし、
K^3 の基底を【(1,－1,0),(0,1,－1) ,(1,1,1)】とすると、

0*x+0*y+1*z=z
1*x+0*y+0*z=x
0*x+1*y+0*z=y
だから
(0,0,1)(x)=(z)
(1,0,0)(y)=(x)
(0,1,0)(z)=(y)
だから
A=
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
とすると
Aは標準基底に関するTの行列となる

E_1=(1,-1,0)
E_2=(0,1,-1)
E_3=(1,1,1)
この基底に関する座標を
X=(X1;X2;X3)
として
標準座標に変換する行列を
B=(E_1;E_2;E_3)
として,Tによる変換後のこの基底に関する座標を
X'=(X1';X2';X3')
とすると
BX'=ABX
↓両辺に左からB^{-1}をかけると
X'=B^{-1}ABX
だから
B^{-1}
=
(1,-1,0)^{-1}
(0,1,-1)
(1,1.,1.)
=
(1/3)*
(2,1,1)
(-1,1,1)
(-1,-2,1)
だから
基底Bに関する線型写像 T の行列は
B^{-1}AB
=
(1,2/3,1/3)
(0,-1/3,-2/3)
(-1,2/3,-2/3)

お礼

ありがとうございます！