線形空間と写像についての質問です

質問

線形空間 K⁴から線形空間 K⁴への線形写像 T が全射のとき、T が単射となる事を示せ。
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

線形空間 K^4から線形空間 K^4への線形写像 T が全射のとき
Tは全射だから
T(e_1)=(1,0,0,0)
T(e_2)=(0,1,0,0)
T(e_3)=(0,0,1,0)
T(e_4)=(0,0,0,1)
となる
e_1∈K^4
e_2∈K^4
e_3∈K^4
e_4∈K^4
がある
x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4=(0,0,0,0)
とすると
T(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)=(0,0,0,0)
x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+x_3T(e_3)+x_4T(e_4)=(0,0,0,0)
=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)
だから
x_1=x_2=x_3=x_4=0
だから
{e_1,e_2,e_3,e_4}は一次独立だから
{e_1,e_2,e_3,e_4}はK^4の基底となる

a∈K^4
b∈K^4
T(a)=T(b)
とすると
T(a-b)=(0,0,0,0)
{e_1,e_2,e_3,e_4}はK^4の基底だから
a-b=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4
となるx_1,x_2,x_3,x_4がある
T(a-b)
=T(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)
=x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+x_3T(e_3)+x_4T(e_4)
=(x_1,x_2,x_3,x_4)
=(0,0,0,0)
だから
x_1=x_2=x_3=x_4=0
だから
a-b=0
∴
a=b
∴
T が単射となる

お礼

ありがとうございます！