ontoな写像について
- ユニタリ空間Vの線形変換Tがベクトルの長さを変えないならば、Tは1対1かつontoな写像であることを示す方法について質問しています。
- 質問者は単射性については証明していますが、全射性の証明方法について教えてほしいとしています。
- 質問者は線形変換Tが単射であれば必ず全射とは言えないのかを疑問としています。また、有限集合の場合には全射性がわかるが、一般の線形空間における全射性の証明方法を知りたいと述べています。
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ontoな写像について
ユニタリ空間Vの線形変換Tがベクトルの長さを変えないならば、つまり、Vの任意の元xに対して|Tx|＝|x|が成り立つならば、Tは1対1かつontoな写像であることを示そうと思い、次のようにしました。 ※||はノルムの意です T(x_1)＝T(x_2)のとき T(x_1－x_2)＝0 Tはベクトルの長さを変えないので |T(x_1－x_2)| ＝|x_1－x_2| ＝0 内積の公理より x_1＝x_2 よってTは単射である。 としたのですが、全射性はどのようにして示せば良いのでしょうか？ ∀y∈V ∃x∈V s.t.T(x)＝y を言おうと思ったのですが… そもそも一般に線形空間Vの線形変換Tが単射であればTは必ず全射とは言えないのですか？ Vがなにか有限な集合とかなら鳩ノ巣論法(部屋割り論法)で全射だとはわかるんですが… どなたか全射性の証明教えていただけないでしょうか？ よろしくお願い致しますm(__)m
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線形変換Tがベクトルの長さを変えないのでTはユニタリ変換です。 Tは逆写像T^(-1)を持ちますから、∀y∈Vに対してT^(-1)(y)＝xとおけば x∈VかつT(x)＝yを満たすのでTが全射であることがわかります。
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お礼
回答ありがとうございます。 そのように言えば良かったのですね！ よくわかりました、ありがとうございましたm(__)m