数学 集合と写像の問題 回答・解説お願いします。

質問

数学　集合と写像の　過去問ですが、回答がないので困っています。
よろしくお願いします！
前回質問させていただきましたが、問題に打ち間違えがありましたので再度修正して
質問いたします。
ミスをご指摘いただいた方ありがとうございました。

X＝｛３，４，５｝　Y={5,6,}とする。

（１）　YからXへの単射を１つ求めよ。
（２）　XからYへの全射を１つ求めよ。
（３）　（１）（２）で求めた写像の合成写像を求めよ。
（４）　XからXへの写像で全射であるものを全て求めよ。
（５）　（４）で求めた写像　f　で合成写像　f2＝f○ｆが恒等写像となるものを全て求めよ。
（６）　YからYへの写像で単射であるものを全て求めよ。
（７）　（６）で求めた写像　f　で合成写像　f3=ｆ○f○fが恒等写像となるものをすべて求めよ。

　数学が　うまく変換出来ませんでしたので、わかりにくいと思いますが、よろしくお願いいたします。

回答No.2

MagicianKuma · ベストアンサー

(1) 写像 f:Y→X　が単射とは ∀y,y'∈Y（y≠y' ⇒ f(y)≠f(y'))となることです。言葉で簡単に言うと、y∈Yのyが違えばその対応する値f(y)とf(y')も異なるということです。
　ですから、f(5)=3,f(6)=3 のような写像は単射ではないわけです。
(2) 写像 g:X→Y　が全射とは(∀y∈Y)(∃x∈X) (g(x)=y)となることです。言葉で簡単にいうと、Yにすべての元が写像fによってxに対応しているということです。
　ですから、g(3)=5,g(4)=5,g(5)=5のような写像は全射ではないわけです。（Yの6がどれにも対応づけられていない）
(3) 写像f:A→B,写像g:B→Cが与えられているとする。ことのき、∀a∈Yに対して、集合Cの元cをg(f(a))で定めること。このとき、写像h=g○fで表す。
後は教科書等をしっかりよんで勉強してください。がんばって。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
文系（商学部1年）の必修科目なのですが、まともな教科書がなく参考書を買おうかと思っていました。
出席もゆるく、ほとんどの人が、試験前にこのような状態です。
この期末で、終わるので単位が来るように　頑張ります。
また質問をする予定ですので、よろしくお願いいたします。
ありがとうございました。

回答No.1

MagicianKuma

>Y={5,6,}　　　6の後にカンマが相変わらず入っています。愛嬌としましょう。
(1)(2)(3)は単射・全射・合成写像の意味がお分かりなら自力でできるはずです。

(4) f:X→X　が全射であれば、定義域と終域の元数が等しいので単射でもある。よってXの元1,2,3に対してXの元を並べ替えたものに対応させれば良いので、3!通りある。
　　写像1：f(3)=3,f(4)=4,f(5)=5
　　写像2：f(3)=3,f(4)=5,f(5)=4
　　写像3：f(3)=4,f(4)=3,f(5)=5
　　写像4：f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3
　　写像5：f(3)=5,f(4)=3,f(5)=4
　　写像6：f(3)=5,f(4)=4,f(5)=3
(5) (4)のうちf2=f○fが恒等写像となるのは、写像1,2,3,6
(6) f:Y→Y　が単射であれば、定義域と終域の元数が等しいので終域は値域となる。なので全射。結局(4)と同様に考えて、2!通りある。
　　写像1：f(5)=5,f(6)=6
　　写像2：f(5)=6,f(6)=5
(7) (6)のうちf3=f○f○fが恒等写像となるのは、写像1

お礼

再度にわたりご丁寧な回答をありがとうございました。

そして再度のミス入力申し訳ありませんでした。
それほど、理解度が低いのです。お恥ずかしい限りです。

ただ（１）（２）（３）もよく理解できていないのです。
できれば教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。