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写像について

問題 写像f:A→Aとする。写像fが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。 <自解> 写像fが単射ならば a_1,a_2∈A、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2(単射の命題の対偶) 写像fはAからAへの写像より ∀y∈A、∃a∈A、st y=f(a)∈A 故に、写像fが単射ならば全射。 また、 写像fが全射ならば ∀y∈A、∃a∈A、st y=f(a)∈A … ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。 単射から全射の証明も、不十分な気がします。 どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

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  • 回答No.6

ノートに、集合A,Bを2個書いて、集合Aから集合Bへの写像をかいてみてください。要素は、10個未満でかまいません。単射の定義に従った写像の例、全射の定義に従った写像の例を2,3個、実際に書いてみるのです。全射だけど、単射でない写像、単射だけど全射でない写像もつくってみてください。写像は、f,g,m.nなど、function,mappingなどの頭文字で適当に名前をつけてください。 数学の証明でも、問題を解くのでも、必ず、何かを操作します。特に、集合と写像の入り口で、全射、単射、全単射、有限集合、無限集合など、概念をつかむときには、具体的な集合をいじることです。あるいは、そういう入門的な本で、思考実験を表現してあるものを参考にして、実際に手で書いて、考えてください。集合Aから集合Aへの写像では、何がなんだかわからなくなります。自分の顔は、鏡に写さないとわかりません。A→Bは、A(自分の顔)をB(鏡に映った自分の顔)に写像することで、Aの様子(内部の要素)を調べようというのです。A→Aは、なにもしないで、頭で自分の顔を想像して、なにも見えない、どうなっているんだ、と悩んでいるようです。

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  • 回答No.5
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>有限集合:集合の元の個数が有限個 それではダメだ。 ANo.3 氏が指摘したように「個数が有限」という概念を数学的に定式化する必要があります。 定義が明確になれば、それが写像の全射性、単射性と密接に関連していることを知るでしょう。

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  • 回答No.4
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>Aが有限集合で、 >fがAからA自身への写像なら、成立はするのでは?? そんなコトは質問文には何も書かれていない。 書かれていないことに対して回答することは不可能だ。 有限集合である場合、ANo.3 氏が指摘しているように「その定義」をどうするかがまず大きな問題です。 有限集合の定義を補足にどうぞ。

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質問者からの補足

申し訳ありません。 有限集合:集合の元の個数が有限個

  • 回答No.3

その命題は、集合Aが有限集合であることと同値です。 f が単射ならば、終域を制限した f:A→f(A) は全単射です。 f(A) は A の部分集合ですが、もし f(A)≠A であれば、 A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになります。 これは、無限集合の定義そのものです。 f が全射であれば、A の各元 a に対する原像 { x | f(x) = a } から各1個づつの元を集めて集合Dを作ると、 DはAの部分集合であって、f:D→A は全単射です。 上記同様、D≠Aであれば、Aは無限集合となります。

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質問者からのお礼

真部分集合について学んでいました。 有難うございます。

質問者からの補足

「真部分集合」については、まだ学んでいないので、できるだけ証明には使用を控えたいのですが、全体的にもう少し砕いて頂けますか??

  • 回答No.2
noname#221368
noname#221368

 Aが有限次元のベクトル空間か何かで、fには線形変換とかの条件は付いてませんか?

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質問者からの補足

Aが有限集合です。fには条件がありません。

  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

そもそも成立しないでしょう? N を自然数の集合とすれば f : N -> N ( n -> 2n ) は単射だけど、全射ではない。 f : N -> N ( n -> [n/2] ) は全射だけど、単射ではない。([x] は x を超えない最大の整数)

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質問者からの補足

Aが有限集合で、 fがAからA自身への写像なら、成立はするのでは??

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