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写像について

問題 A:有限集合 写像f:A→Aとする。写像fが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。 <自解> 写像fが単射ならば a_1,a_2∈A、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2(単射の命題の対偶) 写像fはAからAへの写像より ∀y∈A、∃a∈A、st y=f(a)∈A 故に、写像fが単射ならば全射。 また、 写像fが全射ならば ∀y∈A、∃a∈A、st y=f(a)∈A … ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。 全体的に証明できていないと思います。 どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

そうです。例の命題は、Aが有限集合ならば成立します。 そこがポイントですから、 証明には、Aが有限集合であるという条件を使わねば。 そのためには、「有限集合」の定義を確認せねば。 よく知られている定義は… 定義:無限集合でない集合を有限集合という。 定義:集合Aと、その真部分集合(部分集合であって、A自身ではないもの)    が等濃度であるとき、Aは無限集合であるという。 定義:集合AからBへの全単射が存在するとき、AとBは等濃度であるという。 前の質問で貴方が補足したように「有限集合:集合の元の個数が有限個」 と定義したければ、それに先立って、「個数が有限個」とは何であるか を定義せねば。できますか? 前回の No.3 を、少し丁寧に書くと… 集合AからAへの、単射かつ非全射な写像fが存在すると仮定する。 fが非全射だから、fによるAの像f(A)はAの真部分集合である。 また、fはAからf(A)への全単射である。よって、定義により、 Aは無限集合である。 これの対偶をとって、 Aが有限集合であれば、AからAへの単射かつ非全射な写像は存在しない。 すなわち、AからAへの単射は全射である。

参考URL:
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4129817.html

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  • 回答No.1

>写像fが単射ならば >故に、写像fが単射ならば全射 のところは残念ながら証明になっていません。 集合Aは有限集合なので、n個の要素からなり、 A={a_1,a_2,・・・,a_n}としてみましょう。 「fの行く先もAである」がまずポイント (1)前半のヒント:写像fが単射ということは、 「異なる要素は、異なる要素に写される」という ことですから、「f(a_1),f(a_2),・・・,f(a_n)は 「Aに含まれる」全て異なる要素」 となる。 (2)後半のヒント:写像f:A→Aは全射なので、 Aの各要素の原像は、Aの部分集合で 空集合Φではありません。つまり f^(-1)(a_1)≠Φ、f^(-1)(a_2)≠Φ,・・・,f^(-1)(a_n)≠Φです。 そこで、 f^(-1)(a_1)、f^(-1)(a_2),・・・,f^(-1)(a_n)から 順番に一つずつAの要素 b_1,b_2,・・・,b_nをとって 行きましょう。(有限集合だからいつか終わる) ここで、「例えばb_1=b_2となることがある」かどうかをよーく 考えてみて下さい。

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