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写像についての問題

写像についての質問です。 解答できるものだけでよいのでお願いします。 次の集合X,Yについて指定された性質を持つ写像f:X→Yの例を一つ挙げよ。ただし、Rは実数全体の集合、Zは整数全体の集合。 1、X=R、Y={x∈Z│x≧-1}, fは単射でないが、全射である 2、X=R, Y={x∈R| x >0} fは単射であるが、全射ではない。 3、X={x∈R | 1≦x≦3}, Y={x∈R | 2≦x≦5} fは全単射である。

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

なるほど、x≦6 じゃなく x≦5 だった。 こんなだから、♯2の回答者には 「ひっこめ、ゲートボールでもしてろ」とか 名指しで言われてしまうんだな。 老眼鏡を買い換えないとね。 3. の解答例は、慎んで訂正: f(x) = (13-3x)/2 とか。

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  • 回答No.2
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

おそらく、大学初年度で学ぶ集合論の問題ですね。 集合 X, Y と写像 f : X --> Y を考えるとき、まだ集合論の考え方に慣れていないかもしれませんので、(1) は前提としましょう。 (2) ~ (4) は、たぶんご存知だと思いますが、一応書いておきます。 (1) X と Y は、どちらも空集合ではない(慣れてきたら、この前提は不要として構いません) (2) f(X) = { y ∈ Y | y = f(x) for some x ∈ X } = Y が成り立つとき、f を X から Y への全射という (3) X の任意の元 a, b に対して、f(a) = f(b) --> a = b が成り立つとき、f を X から Y への単射という (4) (2) と (3) がともに成り立つとき、f を X から Y への全単射という 1. に関して、もうすぐ習うと思いますが、X から Y への単射は存在しません。 よって、f が全射になる例を探すだけで構いません。 X = R の部分集合 W を、W = N ∪ { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ・・・ } とします。 x ∈ W のとき f(x) = x, x ∈ X \ W のとき f(x) = -1 と定義すると、f は単射でない全射の例となります。 2. は分かりやすいと思います。 f(x) = 1 + e^x と定義すれば f は明らかに単射ですが、f(x) = 0.5 を満たす x ∈ X = R は存在しないので、f は全射になりません。 3. に関して、間違いを教えられるのは迷惑でしょうから、正しい例を挙げておきます。 いろいろな例がありますが、f(x) = (3x + 1)/2 とすれば、f は X から Y への全単射になります。

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  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

「全射」「単射」の意味は解っているんでしょうね? 値域が終域と一致しているのが全射、 逆写像が存在するのが単射ですよ。 そうなる例を挙げればいいだけですが、例えば… 1. x の整数部分と -1 のうち、小さくない方を f(x) とする。 2. f(x) = Arctan(x) + 2 3. f(x) = 8 - 2x とか。

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