写像についての問題

質問

写像についての質問です。
解答できるものだけでよいのでお願いします。

次の集合X,Yについて指定された性質を持つ写像ｆ：X→Yの例を一つ挙げよ。ただし、Rは実数全体の集合、Zは整数全体の集合。

1、X=R、Y=｛x∈Z│x≧-1｝,
ｆは単射でないが、全射である

2、X=R, Y={x∈R| x >0}
fは単射であるが、全射ではない。

3、X={x∈R | 1≦x≦3}, Y={x∈R | 2≦x≦5}
fは全単射である。

回答No.3

alice_44

なるほど、x≦6 じゃなく x≦5 だった。
こんなだから、♯２の回答者には
「ひっこめ、ゲートボールでもしてろ」とか
名指しで言われてしまうんだな。
老眼鏡を買い換えないとね。

3. の解答例は、慎んで訂正:
f(x) = (13-3x)/2 とか。

回答No.2

OurSQL

おそらく、大学初年度で学ぶ集合論の問題ですね。

集合 X, Y と写像 f : X --> Y を考えるとき、まだ集合論の考え方に慣れていないかもしれませんので、(1) は前提としましょう。
(2) ～ (4) は、たぶんご存知だと思いますが、一応書いておきます。

(1) X と Y は、どちらも空集合ではない（慣れてきたら、この前提は不要として構いません）
(2) f(X) = { y ∈ Y | y = f(x) for some x ∈ X } = Y が成り立つとき、f を X から Y への全射という
(3) X の任意の元 a, b に対して、f(a) = f(b) --> a = b が成り立つとき、f を X から Y への単射という
(4) (2) と (3) がともに成り立つとき、f を X から Y への全単射という

1. に関して、もうすぐ習うと思いますが、X から Y への単射は存在しません。
よって、f が全射になる例を探すだけで構いません。
X = R の部分集合 W を、W = N ∪ { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ・・・ } とします。
x ∈ W のとき f(x) = x, x ∈ X ＼ W のとき f(x) = －1 と定義すると、f は単射でない全射の例となります。

2. は分かりやすいと思います。
f(x) = 1 + e^x と定義すれば f は明らかに単射ですが、f(x) = 0.5 を満たす x ∈ X = R は存在しないので、f は全射になりません。

3. に関して、間違いを教えられるのは迷惑でしょうから、正しい例を挙げておきます。
いろいろな例がありますが、f(x) = (3x + 1)／2 とすれば、f は X から Y への全単射になります。

回答No.1

alice_44

「全射」「単射」の意味は解っているんでしょうね？
値域が終域と一致しているのが全射、
逆写像が存在するのが単射ですよ。
そうなる例を挙げればいいだけですが、例えば…

1.　x の整数部分と -1 のうち、小さくない方を f(x) とする。
2.　f(x) = Arctan(x) + 2
3.　f(x) = 8 - 2x

とか。