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濃度の問についてご教授願います。

(1)は途中まで解いてみました。(2)(3)はどのように証明してゆけばよいのでしょうか?お願いいたします。                              問題  集合Xの濃度を♯Xであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ=0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}=1である。集合Xから集合Yへの写像全体の集合をY^Xと表す。 更に、濃度のべき乗〖(♯Y)〗^(♯X)を♯〖(Y〗^X)と定義する。以下の問いに答えよ。 (1)♯X_1=♯X_2かつ♯Y_1=♯Y_2ならば、〖(♯Y₁)〗^(♯X₁)=〖(♯Y₂)〗^(♯X₂)を証明せよ。 (2)0^(♯X)を求めよ。 (3)特に、0⁰を求めよ。 <解答> (1)♯X_1=♯X_2より、fという全単射が存在。♯Y_1=♯Y_2より、gという全単射が存在。(仮定より) また、〖(♯Y₁)〗^(♯X₁)よりhという写像がおける。〖(♯Y₂)〗^(♯X₂)より、iという写像がおける。(示すべきものより)  これより、 Φ:〖(♯Y₁)〗^(♯X₁)→〖(♯Y₂)〗^(♯X₂)  が全単射であることを言えばよいと分るのですが、「全射をどのようにして、定義にもちこむか、単射をどのようにして、定義にもちこむか」が不明です。お願いします。  (※h=g⁻¹◦i◦f、i=(g)◦h◦f⁻¹と表せますが、何か使えますでしょうか)

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  • Tacosan
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うぅ~ん, 書いてあることを読むと「『なんとなく』理解している」ような感じにもなるんだけど, 「なんとなく」しか理解できていないように思える.... たとえば 「〖(♯Y₁)〗^(♯X₁)よりhという写像がおける。」 って, 何のことやらさっぱりわからんのだよね. 「写像」というからには始域や終域があるはずなんだけど, なぜ隠すの? あと, 「Φ:〖(♯Y₁)〗^(♯X₁)→〖(♯Y₂)〗^(♯X₂)  が全単射であることを言えばよい」 もなんのこっちゃって感じ. これ, 矢印の前も後ろも濃度 (平たく言えば「数字」) だよね. で, たとえば Φ: 5→8 が全単射 っていう? 「♯X_1=♯X_2より、fという全単射が存在。」という文章から (ここも f が「何から何への」全単射か, ってちゃんと書かないとだめだけど) 「示すべきこと」が分かっているかのように思えるんだけどその一方で上のように書かれると理解できていないようにも「え?」って思っちゃう. 最初にも書いたんだけど「大筋で分かっているような感じもするけど感覚的にとらえてるだけで正確には理解できていない」ってところかなぁ. ああ, (※) は使います. というか, ほとんどそれがすべて.

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質問者からの補足

Φ:(Y₁)^(X₁)→(Y₂)^(X₂) と置き、全単射であればいい。   (Y₁)^(X₁)∍h、(Y₂)^(X₂)∍iとして、hとiを用いて、どのようにして全単射を示せばよいか教えてください。お願いします。   ※h=g⁻¹◦i◦f、i=(g)◦h◦f⁻¹

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

〖(Y〗^X の 定義はなんですか? それをまず、考えたらもっと進めるとおもいますが。

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質問者からの補足

♯(Y^X)の打ち間違えです。すいません。

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