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幾何学の問題がわかりません。

fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。つぎを証明せよ。 1、fおよびgが単射ならばfとgの合成gfも単射である。 2、fおよびgが全射ならばfとgの合成gfも全射である。 3、|X|<_|Y|で||<_|Z|ならば|X|<_|Z|である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。

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  • 回答No.3
  • Caper
  • ベストアンサー率33% (81/242)

● ごめんなさい。ANo.2 で私が示した 2. の証明は不十分でした。  「 以上の結果より … ( 証明終わり ) 」を次のように改めさせてください。 ● 以上の結果より、Z から任意に選んだ 要素z に対して、g(f(x)) (= gf(x) = g(y)) = z を満たす X の要素が少なくとも 1つ 存在することが示されたことになります。すなわち、Z ⊆ gf(X) (= {x| (z ∈ Z)∧∃x((x ∈ X)∧(gf(x) = z))}) が示されたことになります。   一方、gf(X) (= {x| (z ∈ Z)∧∃x((x ∈ X)∧(gf(x) = z))}) ⊆ Z であることは明らかです。( 理由は、「 写像の定義より 」とか「 gf(X) は gf の値域を示し、Z は gf の終集合であるから 」とか「 gf(X) の要素であるための条件の中に、(z ∈ Z)∧ … と明記されているから 」とか … )   Z ⊆ gf(X) と gf(X) ⊆ Z が示されましたので、gf(X) = Z が示されたことになります。すなわち、X から Z への 合成写像gf が全射であることが示されたことになります。( 証明終わり )

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  • 回答No.2
  • Caper
  • ベストアンサー率33% (81/242)

● 1.   仮定より、f は X から Y への単射ですから、集合 X から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば f(a) ≠ f(b) です。また、仮定より、g は Y から Z への単射ですから、f(a) ≠ f(b) であれば g(f(a)) ≠ g(f(b)) です。すなわち、f(a) ≠ f(b) であれば gf(a) ≠ gf(b) です。   以上の結果より、集合 X から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば gf(a) ≠ gf(b) であることが示されたことになります。よって、X から Z への 合成写像gf は単射になります。( 証明終わり ) ● 2.   Z から任意に選んだ要素を z と表わすことにします。   仮定より、g は Y から Z への全射です。すなわち、g(Y) = Z です (*)。よって、g(y) = z を満たす Y の 要素y が少なくとも 1つ 存在します。   同様に、仮定より、f は X から Y への全射です。すなわち、f(X) = Y です(*)。よって、f(x) = y を満たす X の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。   以上の結果より、Z から任意に選んだ 要素z に対して、g(f(x)) (= gf(x) = g(y)) = z を満たす X の要素が少なくとも 1つ 存在することが示されたことになります。すなわち、X から Z への 合成写像gf が全射であることが示されたことになります。( 証明終わり ) (*)   f が X から Y への写像であり、g が Y から Z への写像であるとします。そして、P が X の任意の部分集合であり、Q が Y の任意の部分集合であるとします。このとき、Y の 部分集合f(P) と Z の 部分集合g(Q) は、次のとおりに表わされます。   f(P) = {y| y ∈ Y であり、f(x) = y を満たす x ∈ P が存在する}     = {y| (y ∈ Y)∧∃x((x ∈ P)∧(f(x) = y))}   g(Q) = {z| z ∈ Z であり、g(y) = z を満たす y ∈ Q が存在する}     = {z| (z ∈ Z)∧∃y((y ∈ Q)∧(g(y) = z))} ● 3. |X|≦|Y| であり、|Y|≦|Z| であるならば、|X|≦|Z| である。   上記の命題を証明しようとするのでしょうか。   集合の濃度の定義より、|X| ≦ |Y| であるならば、X から Y への単射が存在します。同様に、|Y| ≦ |Z| であるならば、Y から Z への単射が存在します。それらの写像を合成すれば、1. より、その合成写像は X から Z への単射となります。X から Z への単射が存在すれば、|X| ≦ |Z| が満たされます。( 証明終わり ) ● 以上の記述にまちがいがありました場合は、ひらにごめんなさい。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

でどこがわからないのですか?

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