集合、濃度の問題について教えてください。

質問

(１)は解決できました。(２)、(３)の考え方と解法がつかめません。よろしくお願いします。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題
　集合Ｘの濃度を♯Ｘであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ＝0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}＝１である。集合Ｘから集合Ｙへの写像全体の集合をＹ^Ｘと表す。
更に、濃度のべき乗〖(♯Ｙ)〗^(♯Ｘ)を♯(Ｙ^Ｘ)と定義する。以下の問いに答えよ。

(1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２かつ♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２ならば、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)＝〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)を証明せよ。

(2)０^(♯Ｘ)を求めよ。

(3)特に、０⁰を求めよ。

(２)について、０^(♯Ｘ)は、問題文の定義より、♯(Φ^Ｘ)と書き表せます。
ただ、∮；Ｘ→Φという写像の全射かつ単射を示すにはどうすればよいでしょうか？
また、どのような答えにいきつくのでしょうか？

(３)については、０しか含まない集合Ｚから０しか含まない集合Ｗという写像kを考えて、全単射がわかるという形で大丈夫でしょうか？

※(1)は以下のようになりました。
　♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射(ｆ；X₁→X₂)が存在。
　　♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２より、ｇという全単射(ｇ；Y₁→Y₂)が存在。(仮定より)
　ゆえに
Φ：(Ｙ₁)^(Ｘ₁)→(Ｙ₂)^(Ｘ₂)
と置き、全単射が存在すればいい。
　Φが全単射で示された。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

(1)質問の中に書かれた答えでは不足です。
Φを具体的にf,gから構成してください。

(2)定義と(1)から０^(♯Ｘ)＝♯(Φ^Ｘ)
♯(Φ^Ｘ)は｛f:Ｘ→Φ｝の濃度です。
Ｘが空集合でないとき、x∈Ｘに対してf(x)∈Φですから、そんなfは存在できません。
従って｛f:Ｘ→Φ｝＝Φです。
従って、０^(♯Ｘ)＝♯(Φ^Ｘ)＝♯(Φ)＝０
Ｘ＝Φのときは、空な関数f：Φ→Φが唯一存在します。
従って、０^(♯Φ)＝♯(Φ^Φ)＝＃（{Φ}）＝１
(3)(2)の最後の部分から０^０＝０^(♯Φ)＝１

回答No.2

Tacosan

既に回答があるので蛇足ではあるんだけど....

(2) や (3) で, なんで全射とか単射とか考えるの? これ, 前のときにも指摘したよね.