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写像の問題なのですが…

写像の問題なのですが… Rで実数全体の集合を表す。 f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7をそれぞれ次の式で定義されたRからRへの写像とする。 f1(x)=x-2 f2(x)=x^2 f3(x)=x^3 -4 f4(x)=x^3 -4x f5(x)=e^x f6(x)=f2?f5 f7(x)=f2?f1?f5 これらの写像が、全単射、単射だが全射でない、全射だが単射でない、 のいずれであるかを判定しなさい。(証明は必要なし) という問題があるのですが、f4,f5,f6,f7の図がうまく描けず、 答えがないためあっているか不安です。 もしよろしければ、教えてほしいです。 お願いします。

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#1です。 補足ありがとうございます。^^ いまの問題であれば、 ・全射かどうかは、関数の値域が実数全体となっているかということ。 ・単射かどうかは、1:1対応になっているか(多:1になっていないか)ということ。 をみればいいですね。 もっとくだいてしまえば、 ・全射 → y方向の上から下までグラフが続いているか (上半分(正の領域)だけにしかグラフが存在しないのであれば、全射ではない。) ・単射 → ある yの値に対する xの値が 1つだけか (y= aという直線を引いたとき、グラフとの共有点が複数あったら単射ではない。) こんな感じですね。 グラフ自体はさほど正確さは要求されませんが、 1階微分を計算して増減表・概形がわかるようにはしておきたいですね。 (まだ微分を習っていなかったら、すみません) 具体的に値を代入してプロットするというのも一つの方法ではあります。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4

f:R→R (f 全射)←def→(f(R)=R) (f 単射)←def→({a,b}⊂R,f(a)=f(b)→a=b) ∀y∈R→∃y+2∈R,f1(y+2)=y→f1(R)=R→f1 全射 {a,b}⊂R,f1(a)=f1(b)→a-2=b-2→a=b→f1 単射 →f1全単射 f2(x)=x^2≧0>-1だからf2(x)=-1となるxは無い→f2は全射でない f2(1)=1=f2(-1)だからf2は単射でない →f2全射でも単射でもない ∀y∈R→∃(y+4)^{1/3}∈R,f3((y+4)^{1/3})=y→f3(R)=R→f3 全射 {a,b}⊂R,f3(a)=f3(b)→a^3-4=b^3-4→(a-b)((a-(b/2))^2+(3b^2)/4)=0→a=b→f3 単射 →f3全単射 ∀y∈R→f4(-y^2-3)<y<f4(y^2+3)だから中間値定理より y=f4(x),-y^2-3<x<y^2+3となるxがある→f4 全射 f4(0)=0=f4(2)だからf4は単射でない →f4 全射だが単射でない f5(x)=e^x>0だからf5(x)=0となるxは無い→f5は全射でない {a,b}⊂R,f5(a)=f5(b)→e^a=e^b→a=b→f5 単射 →f5 単射だが全射でない f6(x)=f2(f5(x))=e^{2x} f2は全射でない→f6(R)⊂f2(R)≠R→f6(R)≠R→f6は全射でない {a,b}⊂R,f6(a)=f6(b)→e^{2a}=e^{2b}→a=b→f6 単射 →f6 単射だが全射でない f7(x)=f2(f1(f5(x)))={(e^x)-2}^2 f2は全射でない→f7(R)⊂f2(R)≠R→f7(R)≠R→f7は全射でない f7(log3)=1=f7(0)だからf7は単射でない →f2全射でも単射でもない

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  • 回答No.3
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

> 全射、単射の定義は知っているつもりなのですが、 > グラフで判定してるの?

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質問者からの補足

一応、グラフを描いて、全射か単射かを見極めてるのですが… ほかにもっといい方法があるのでしょうか? よろしければ教えてください>< あと、f6,f7は合成関数のつもりだったのですが 文字化けしてしまいました…

  • 回答No.2

>という問題があるのですが、f4,f5,f6,f7の図がうまく描けず、 >答えがないためあっているか不安です。 f4,f5,f6,f7のグラフを提示します。グラフをよく見て考えて下さい。 「全射」、「単射」、「全単射」、「全射だが単射でない」、 「単射だが全射でない」の意味を理解することが大切です。

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質問者からのお礼

グラフを張り付けていただきありがとうございます!! 意味を考えながらグラフと照らし合わせてみます!

  • 回答No.1

こんにちわ。 >という問題があるのですが、f4,f5,f6,f7の図がうまく描けず、 >答えがないためあっているか不安です ということは、考えた答えがあるということですね。 まずはそれを書いてください。そして、どう考えたかも教えてください。 それがあれば、説明する方もポイントを絞りやすくなります。 あと、f6と f7で文字化けしていますね。 f6(x)= f2○f5 (関数の合成) という意味でしょうか・・・? 補足してください。^^

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質問者からの補足

私なりに解いた結果、 f1;全単射 f2;全射でも単射でもない f3;全単射 f4;全射だが単射でない f5;単射だが全射でない 全射、単射の定義は知っているつもりなのですが、 意味をよく理解できているのか自分でもわからないため、 あやふやに判定してしまいました。。 f6,f7はnaniwacchiさんの言うとおり、 関数の合成が文字化けしてしまいました>< 説明不足で申し訳ありません。 よろしければ回答お願いします。

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