• ベストアンサー

合成問題の証明教えてください(><)

背理法を使ってみたんですがよくわかりませんでした。 写像f:A→B,g:B→Cとその合成写像g。fについて示せ。 1 f,gともに全単射であればg。fはまた全単射である。またこのとき(g。f)^-1=f^-1。g^-1である。 2 g。fが全単射ならばgは全射である。もしこのとき、さらにgが単射でもあれば、fは全射である。 3 g。fが単射ならば、fは単射である。もしこのとき、さらにfが全射でもあれば、gは単射である。 わかる方よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「よくわからない」ということは, 当然ながら「わかっているところ」と「わからないところ」があるんだよね? どこまでできて, どこができないの?

関連するQ&A

  • 写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

    大学の問題で、 関数f,g:N→Nを以下のように定義する。 f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1     ※[ ]は床関数を表す fとgの合成gfが満たす性質を選べ。 (A)単射でも全射でもない(B)単射だが全射ではない (C)全射だが単射ではない(D)全単射である という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 写像の証明問題です。よろしくお願いします。

    写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)2つの写像f:X→Y、f:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 大学の数学のことで質問です(ってか問題解けません><;;)

    問題 f:A→B g:B→Cとする。次の命題のうち正しいものは証明し、正しくないものには反例を挙げよ。 (1)f、gが単射であれば、g○fも単射である。 (2)f、gが全射であれば、g○fも全射である。 (3)g○fが単射であれば、gも単射である。 (4)g○fが単射であれば、fも単射である。 (5)g○fが全射であれば、gも全射である。 (6)g○fが全射であれば、fも全射である。 (7)f、gが全単射なら、g○fも全単射で(g○f)の-1=fの-1○gの-1 (8)g○fが単射であり、さらにfが全射ならgは単射 (9)g○fが全射であり、ららにgが単射ならfは全射 ただしA,BCは集合を表します の-1っていうのはインバースのことでfの-1の場合 fの右上に小さく-1を書こうとしたのですがPCでは入力できない・・!?みたいな感じだったので やむなく [の-1] と書きました(・・;)

  • f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像

    f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像とし、g⚪︎f:X→X、f⚪︎g:Y→Yをそれらの写像の合成写像とする。次の記述1から5について、 1:gが全射ならば、g⚪︎fは全射である。 2:g⚪︎fが全射ならば、fは全射である。 3:g⚪︎fが単射ならば、gは単射である。 4:Yが有限集合で、g⚪︎fとf⚪︎gが全射ならば、fは全単射である。 5:f⚪︎gが全単射ならば、g⚪︎fは全単射である。 常に正しいのは4であるそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

  • 写像の証明問題を教科書の定理、定義を組み合わせながらやっていたのですが

    写像の証明問題を教科書の定理、定義を組み合わせながらやっていたのですがうまく出来ません。 どなたか次の問題の証明過程を教えてください。 f:A→B, g:B→Aをともに全単射とすれば、g。f (gとfの合成写像): A→Cも全単射である。 このとき、(g。f)^-1 (gとfの合成写像のインバース)=f^-1。g^1(fのインバースとgのインバースの合成写像)であることを示せです。 お願いします。

  • 写像の問題です。よろしくお願いします。

    (1)2つの写像f:X→Y、g:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 幾何学の問題がわかりません。

    fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。つぎを証明せよ。 1、fおよびgが単射ならばfとgの合成gfも単射である。 2、fおよびgが全射ならばfとgの合成gfも全射である。 3、|X|<_|Y|で||<_|Z|ならば|X|<_|Z|である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。

  • どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました…

    どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました… 1.f1~f5をそれぞれ次の式で定義された実数から実数への写像とする。これらの値域を答えなさい。さらに全単射、単射、全射、単射でも全射でもどちらでもないのいずれであるか答えなさい。またグラフも描きなさい。 f1(x)=x+1 f2(x)=x^3 f3(x)=x^3-x f4(x)=a^x (a≠1、a>0) f5(x)=x^2 2.f,g,hは実数から実数の写像でf(x)=x-2,g(x)=3x,h(x)=sinxとする。  このとき、f・g・f と h・g・f と g・h・f を求めなさい。 この2問です。よろしくお願いします。

  • 合成写像について

    合成写像の証明の問題がわかりません。 f:X→Y g:Y→Z h=g→f=Z として (1)hが全射なら、gもそうであることを示せ。 (2)hが単射なら、fもそうであることを示せ。 分かりにくいかもしれませんが、よろしくおねがいします。

  • 写像の問題なのですが、いまいち理解できません…

    写像の問題なのですが、いまいち理解できません… どなたか解説をお願いします。 1.f1~f5をそれぞれ次の式で定義された実数から実数への写像とする。これらの値域を答えなさい。  さらに全単射、単射、全射、単射でも全射でもどちらでもないのいずれであるか答えなさい。 またグラフも描きなさい。 f1(x)=x+1 f2(x)=x^3 f3(x)=x^3-x f4(x)=a^x (a≠1、a>0) f5(x)=x^2 2.f,g,hは実数から実数の写像でf(x)=x-2,g(x)=3x,h(x)=sinxとする。  このとき、f・g・f と h・g・f と g・h・f を求めなさい。 この2問です。解説お願いします。