• 締切済み

全射・部分写像の個数の問題

A={a1,a2,a3,a4}、B={b1,b2,b3}、C={c1,c2,c3} を考えたとき、以下のものは何通りあるかを求めよ。 (1) AからBへの写像 (2) BからAへの単射 (3) BからCへの全単射 (4) AからBへの全射 (5) AからBへの部分写像 という問題の、(4)、(5)がよくわからないのです。 (1)は 3*3*3*3 = 81、 (2)は 4*3*2 = 24、 (3)は 3*2*1 = 6、 (4)は 3*2*1*3 = 18、 (5)は 4*4*4*4 = 256、 と解いて、(1)～(3)は正答と一致したのですが、(4),(5)が違うのです。 ちなみに正答は(4)が36、(5)が空集合を含めて121、となっています。 どこが間違っているのか、ご指摘頂けると幸いでございます。

みんなの回答

  • Landolt
  • ベストアンサー率50% (8/16)
回答No.2

(4)は、「f(a4)と、f(a1)、f(a2)、f(a3)のいずれかが同じになる」 と考えたところがまずかったのではないかと推測します。 例えば 　f(a1) = f(a2) = b1 { f(a3) = b2 　f(a4) = b3 という場合があります。 (5)は… ごめんなさい。部分写像の定義がわかりませんでした。

  • tatsumi01
  • ベストアンサー率30% (976/3185)
回答No.1

(4) ですが、Ａを３個の空でない部分集合に分け、それをＢに１対１対応させと考えます。前者は４個から２個を取る組み合わせですから６通り。後者は３！で６通り。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

    大学の問題で、 関数f,g：N→Nを以下のように定義する。 f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1　　　　　※[ ]は床関数を表す fとgの合成gfが満たす性質を選べ。 (A)単射でも全射でもない(B)単射だが全射ではない (C)全射だが単射ではない(D)全単射である という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 写像の問題です。よろしくお願いします。

    (1)２つの写像f:Ｘ→Y、g:Ｙ→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 写像の証明問題です。よろしくお願いします。

    写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)２つの写像f:Ｘ→Y、f:Ｙ→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 写像の問題をお教え下さい。

    いくら考えても全くわかりません。 お教えいただければ大変嬉しいです。お願いします。 問題 Ａをm×n行列とし、行列とベクトルの積で与えられる線形写像A:R＾n →R＾m：x ↦ Axを考える。 以下の問いに答えよ。 (1) 写像Aが単射であるならば、n ≤ mであることを示せ。 (2) n ≤ mであって、写像Ａが単射でない例をあげよ。 (3) 写像Aが単射であるならば、rankA = nであることが必要十分であることを示せ。 (4) 写像Aが全射であるならば、n ≥ ｍであることを示せ。 (5) n ≥ mであって、写像Aが全射でない例をあげよ。 (6) 写像Aが全射であるならば、rankA = mであることが必要十分であることを示せ。 (7) もしn = mならば、写像Aが全単射であることとAが正則であることが必要十分であることを示せ。

  • 合成問題の証明教えてください(＞＜)

    背理法を使ってみたんですがよくわかりませんでした。 写像f:A→B,g:B→Cとその合成写像g。fについて示せ。 １ f,gともに全単射であればg。fはまた全単射である。またこのとき(g。f)＾-1=f＾-1。ｇ^-1である。 ２ g。fが全単射ならばgは全射である。もしこのとき、さらにgが単射でもあれば、fは全射である。 ３ g。fが単射ならば、fは単射である。もしこのとき、さらにfが全射でもあれば、gは単射である。 わかる方よろしくお願いします。

  • 写像についての問題

    写像についての質問です。 解答できるものだけでよいのでお願いします。 次の集合X,Yについて指定された性質を持つ写像ｆ：X→Yの例を一つ挙げよ。ただし、Rは実数全体の集合、Zは整数全体の集合。 1、X=R、Y=｛x∈Z│x≧-1｝, ｆは単射でないが、全射である 2、X=R, Y={x∈R| x >0} fは単射であるが、全射ではない。 3、X={x∈R | 1≦x≦3}, Y={x∈R | 2≦x≦5} fは全単射である。

  • 写像について

    問題 Ａ：有限集合 写像f:Ａ→Ａとする。写像ｆが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。 ＜自解＞ 写像ｆが単射ならば a_1,a_2∈Ａ、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2（単射の命題の対偶） 写像ｆはＡからＡへの写像より ∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ 故に、写像ｆが単射ならば全射。 また、 写像ｆが全射ならば ∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ … ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。 全体的に証明できていないと思います。 どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

  • 単射と全射について

    写像、単射、全射についての質問です。 これらのイメージがいまいちつかめません。 定義とか証明とかいったことが知りたいのでなく、 具体的な問題を解くための理解を得たいと思っています。 具体的な問題を挙げてみると、いまA={a,b,c,}とすると AからAへの写像の数は27になるそうですが、 これはaについて3通りあって、bについても3通りあって、cについても3通りあるから 3×3×3=27という考え方であっているでしょうか？ 次に、AからAへの単射の数、全射の数はそれぞれ6通りあるそうですが、 これはどういう考え方なのでしょうか？おそらく3!という計算だと思うのですが、 なぜそのような計算をするかがわかりません。 単射については、行き先の値がダブってはいけないということなのでしょうか？ 拙い日本語で申し訳ないのですが、 補足等必要ならいたしますのでどなたか詳しい方は教えてください。よろしくお願いします。

  • 写像の単射全射のところの関係式に関する証明について

    写像の単射全射のところの証明がわからないので、ご教授ください。 集合AからBへの写像をfとし、a∈A,P⊂A,b∈B,Q⊂Bとする。 １．fが単射のとき、a∈P ⇒ f(a)∈f(P)の逆が成り立つことの証明 2.fが単射のとき、Ｐ1⊂P2 ⇒ f(P1)⊂f(P2)の逆が成り立つことの証明 3.fが単射のとき、f(A-P) ⊃ f(A) - f(P) の逆が成り立つことの証明 4.fが単射のとき、f^(-1)(f(P)) = Pの証明 5.fが全射のとき、∃a'∈f^(-1)(Q), b=f(a') ⇒ b∈Qの逆が成り立つことの証明 6.fが全射のとき、Q1⊂Q2 ⇒ f^(-1)(Q1)⊂f^(-1)(Q2)の逆が成り立つことの証明 7.fが全射のとき、f(f^(-1)(Q)) = Qの証明 以上の7問です。 何個かだけでも構いませんので、回答して頂ければ嬉しいです。 また、はじめての質問ですので、ご迷惑をおかけするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

  • 写像についての証明

    写像に関する問題です。 集合A，Bの部分集合をそれぞれA_１，B_１とする。写像ｆ：A→B に対して次の問いを証明しなさい。 問1　写像ｆが単射ならば、Ａ_１ = ｆ＾(-1)（ｆ（Ａ_１ ））である。 問2　写像ｆが全射ならば、ｆ（ｆ＾(-1)（Ｂ_１) ） = Ｂ_１である。 どなたかご回答の程よろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する