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縮小写像について質問です
フラクタル数学という本を読んでいたら縮小写像が出てきたのですが、縮小写像の性質で逆写像を持つというのがありました。 逆写像が存在するということは写像が全単射であると思ったので、全単射の証明をしようとしたのですが、単射であることは示せても全射であることを証明することができません。 どのようにして証明すればいいのでしょうか？ わかる方、ヒントでもいいので教えてください(>_<) よろしくお願いします。
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<回答No.2お礼 先に挙げたどちらの定義とも違いましたね．確かにその定義なら(その証明で)単射であることがわかりますし，今まで挙げてきた例も反例にはなりませんね．その縮小写像の例を考えてみるとλ倍した後，回転，鏡映，平行移動といった等長変換を合成したものくらいしか思いつかないので確かに全射になりそうです．とは言うものの，証明は思いつきませんでした．とりあえず既に気づいていらっしゃるかもしれないことをここに晒しておきます． すぐわかることですが縮小写像 f は連続です．(ε-δ論法でδ:=ε/λとすればよい．)したがって X := R^2 とおけば全射の条件 ∀y∈X, ∃x∈X, y = f(x) というのは y = f(x) ⇔ d(y, f(x)) = 0 に注意すれば次の収束列 (x_n)∈X^N を見つけることと同値です： lim_{n → ∞} d(y, f(x_n)) = 0. なので，このような収束列 (x_n) を縮小写像の条件式から見つけようとしていたのですが，うまくいきませんでした．
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- ask-it-aurora
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<回答No.1 フラクタルについてキチンと勉強したことがなかったのですが，ちょっと調べてみるとフラクタルの界隈で云う縮小写像は僕の想像していた縮小写像の定義とは違うみたいですね．早とちりでした(_ _;) 確認も兼ねて定義を書いておきます． 【定義】距離空間(X, d)の自己写像F: X → Xが sup_{x ≠ y} d(F(x), F(y)/d(x, y) < 1 を満たすときFを〈縮小写像〉という． たまたまですが，先の回答に書いた例は(条件式の左辺が1/2になるから)この意味でも縮小写像になっていて，やっぱり反例になっていると思うのですがいかが？ 加えて縮小写像というだけだと単射にもならないと思いますが，あなたのしたその証明を補足に書いてもらえませんか．反例としては次の写像ができます．先の回答の記号を流用すると写像g: I → Iをg(x) = 0で定義すれば(条件式の左辺が0になるから)縮小写像になりますが，明らかに単射ではありません． ## つまりそれまでにいろいろ仮定がつけてあったり，章の初めの方で「以後ことばの乱用をして○○と言ったらそれは▲▲○○のことを指す」みたいな約束事がありませんか？正確には本に何と書いてあるんですか？
お礼
解答ありがとうございます。 本には 平面R^2からR^2への写像fにおいて平面R^2上の相異なるどのような２点P、Qに対しても d(f(P)，f(Q))=λ・d(P,Q) （ここでのdは位相の距離を表します） を満たすようなλ(0<λ<1)が存在するとき、写像fを縮小写像という とありました。 単射の証明ですが、 f(P)=f(Q) とすると d(f(P),f(Q))=0 fは縮小写像なので d(f(P)，f(Q))=λ・d(P,Q)=0 λ≠0より d(P,Q)=0 すなわち P=Q よって単射 です。 また、以後ことばの乱用をして○○と言ったらそれは▲▲○○のことを指すといった言葉は書いていませんでした。 縮小写像の性質のところに１対１対応と書いてあったので、本によっては全単射の事を１対１対応と書いていることから全単射だと思い証明を試みました。
- ask-it-aurora
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そもそも成り立たないのでは？ 縮小写像というのが参考URLにある定義と同じならば次のような反例ができます． 閉区間をI = [0, 1] とし，通常の距離d(x, y) := | x - y |を入れます．ここで閉区間I上の写像f: I → Iを f(x) = x/2 で定義すれば，この写像fはリプシッツ定数が1/2の縮小写像ですが値域が[0, 1/2]なので全射ではありません． なのでそもそも全射が仮定に入っているか，著者の間違いか，"逆写像"というのは写像g: im(f) → dom(f)であってg(f(x)) = xを満たすような写像を指しているかのどれかだと思います．
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お礼が遅くなってしまいすみません。 解答ありがとうございました。 やはり証明は無理そうなので、本は全射とういう前提で読んでいきたいと思います。