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自身への写像が全単射となることの証明

(1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(A) は A の部分集合。 f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

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  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

Aが有限集合のとき Aの元の個数を|A|で表わす。 fが単射のとき、|f(A)|=|A| fが全射ではないとすると、f(A)はAの真部分集合となるので、 |f(A)|<|A| よって、|A|<|A|となり、矛盾が起こるので、fは全射である。 Aが無限集合のときは、Aの元の個数という概念が通用しないので、 上の議論は成り立たない。 Aとして、自然数全体の集合を考えると、f(n)=2nは単射ではあるが、 全射ではない。 f(A)は偶数全体の集合であるから。 これから、無限集合とは、自分自身の中への単射が存在する、 すなわち、全体と対等な真部分集合を含むような集合である とも定義できる。

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質問者からのお礼

やはり私の証明は不完全だったようですね。 わざわざ証明まで記述していただき、ありがとうございました。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

普通は、ディレクレの原理(鳩の巣原理) http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B3%A9%E3%81%AE%E5%B7%A3%E5%8E%9F%E7%90%86 を使って証明するんでしょう。 その証明は(ちょっと論理の飛躍があって完璧ではないですが) つまり、「有限集合Aは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という事実を使っているわけですが、このこと自体が普通は証明の対象だと思います。 授業ですでにやったかなんで、この事実は証明なしで使ってかまわないっていうならOKでしょうが。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 一応講義で写像の範囲をやりましたが、「有限集合Aは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という証明は必要な気がします。やはり私の証明では不完全でしたね。

  • 回答No.2

>これは、無限集合の定義であるため その定義を採用するとして、まずは「無限集合」を見つけねばなりませんね。

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  • 回答No.1
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 Aを自然数の集合とした時、「Aの元を2倍にする」という写像は反例になりませんか?

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